Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發(fā)，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設(shè)它們運動的時間為x(s)．

(1)求x為何值時，PQ⊥AC；

(2)設(shè)△PQD的面積為，當(dāng)0＜x＜2時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)0＜x＜2時，求證：AD平分△PQD的面積；

(4)探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系，請寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍(不要求寫出過程)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝；（3）詳見解析；（4）當(dāng) 或或 ＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．

【解析】試題分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據(jù)路程=速度×?xí)r間表示出CP和CQ的長，再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解；（2）當(dāng)0＜x＜2時，P在BD上，Q在AC上，過點Q作QN⊥BC于N，用x表示出PD、QN的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點．根據(jù)題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明；（4）根據(jù)題意可知不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，由（1）可知當(dāng)x＝時，以PQ為直徑的圓與AC相切；當(dāng)點Q在AB上時，8－2x＝，解得x＝，當(dāng)x＝或時，以PQ為直徑的圓與AC相切；根據(jù)直線與圓相交的條件可知當(dāng) 或或 ＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．

試題解析：

(1)當(dāng)Q在AB上時，顯然PQ不垂直于AC，

當(dāng)Q在AC上時，由題意得，BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x；

∵AB＝BC＝CA＝4，∴∠C＝60°；

若PQ⊥AC，則有∠QPC＝30°，

∴PC＝2CQ，∴4－x＝2×2x，

∴x＝；

(2)如圖，當(dāng)0＜x＜2時，P在BD上，Q在AC上，過點Q作QN⊥BC于N；

∵∠C＝60°，QC＝2x，

∴QN＝QC＝x；

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD＝BC＝2，

∴DP＝2－x，

∴y＝PD﹒QN＝x＝；

(3)當(dāng)0＜x＜2時，在Rt△QNC中，QC＝2x，∠C＝60°，NC＝x，

∴BP＝NC，

∵BD＝CD，

∴DP＝DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC，

∴AD∥QN，

∴OP＝OQ，

∴ ，

∴AD平分△PQD的面積；

(4)顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，

由(1)可知，當(dāng)x＝時，以PQ為直徑的圓與AC相切；當(dāng)點Q在AB上時，8－2x＝，解得x＝，

故當(dāng)x＝或時，以PQ為直徑的圓與AC相切，

當(dāng) 或或 ＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．