Question

已知a、b、c都是正整數(shù)，且二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B．  
（1）若A、B分別在點(diǎn)（-1，0）的兩側(cè)，試比較b與a+c的大��；
（2）若A、B到原點(diǎn)的距離都小于1，求a+b+c的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線的開口方向向上，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)A、B，且A、B分別在點(diǎn)（-1，0）的兩側(cè)，知，當(dāng)x=-1時(shí)，y＜0，把x=-1代入函數(shù)解析式后，來比較b與a+c的大��；
（2）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）．利用根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式得到

c

a

=x₁x₂＜1且b²-4ac＞0①，則a-b+c≥1②，且a＞c．可得 （

a

-

c

）²＞1③，由③得

a

＞

c

+1，故a＞4，又因?yàn)閎＞2

ac

≥2

5×1

＞4，分別取a、b、c的最小整數(shù)5、5、1．

解答：解：（1）∵a是正整數(shù)，
∴二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象開口方向向上，
又∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，A、B分別在點(diǎn)（-1，0）的兩側(cè)，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y＜0，即a-b+c＜0，
整理 得b＞a+c；

（2）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）．
據(jù)題意得，方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)相異根，都在（-1，0）中，
故當(dāng)x=-1時(shí)，y＞0，則a-b+c＞0，一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根

c

a

=x₁x₂＜1且b²-4ac＞0①，
可見a-b+c≥1②，且a＞c．
所以a+c≥b+1＞2

ac

+1，可得 （

a

-

c

）²＞1，③
由③得

a

＞

c

+1，故a＞4，
又因?yàn)閎＞2

ac

≥2

5×1

＞4，分別取a、b、c的最小整數(shù)5、5、1．
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，
所以a+b+c=11最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．