Question

在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2cm，點(diǎn)P在對角線AC上，M為AB中點(diǎn)，求△PMB周長的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題,菱形的性質(zhì)

專題：

分析：作出圖形，連接BD，先求出∠BAD=60°，然后判斷出△ABD是等邊三角形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)B、D關(guān)于直線AC成軸對稱，連接DM，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題可得DM與AC的交點(diǎn)即為使△PMB周長的最小值的點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出DM，再求出BM，然后求解即可．

解答：解：如圖，連接BD，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=180°-120°=60°，
∵菱形的鄰邊AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∵點(diǎn)B、D關(guān)于直線AC成軸對稱，
∴連接DM，DM與AC的交點(diǎn)即為使△PMB周長的最小值的點(diǎn)，
∵AB=2cm，M為AB中點(diǎn)，
∴DM=

3

2

×2=

3

cm，
BM=

1

2

AB=

1

2

×2=1cm，
∴△PMB周長的最小值=（

3

+1）cm．

點(diǎn)評：本題考查了軸對稱確定最短路線問題，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．