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17.如圖:在△ABE中,點(diǎn)C是BE邊上的一點(diǎn),連接AC,已知AD是∠BAC的角平分線,EF是AD的垂直平分線且交AB邊于點(diǎn)F.
(1)求證:△EAF≌△EDF;
(2)求證:DF∥AC;
(3)判斷∠EAC與∠B相等嗎?說(shuō)明理由.

分析 (1)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AF=DF,AE=DE,根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AF=DF,由等邊對(duì)等角得到∠FAD=∠FDA,再根據(jù)角平分線定義得出∠BAD=∠CAD,等量代換得出∠ADF=∠CAD,再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可證明DF∥AC;
(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAE=∠ADE,由外角的性質(zhì)得到∠B+∠BAD=∠EAC+∠DAC,即可得到結(jié)論.

解答 證明:(1)∵EF是AD的垂直平分線,
∴AF=DF,AE=DE,
在△AEF與△DEF中,{AE=DEAF=DFEF=EF,
∴△EAF≌△EDF;

(2)∵EF是AD的垂直平分線,
∴AF=DF,
∴∠FAD=∠FDA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠ADF=∠CAD,
∴DF∥AC;

(3)∠EAC=∠B,
∵AE=DE,
∴∠DAE=∠ADE,
∴∠B+∠BAD=∠EAC+∠DAC,
∵∠BAD=∠CAD,
∴∠EAC=∠B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),線段垂直平分線性質(zhì),三角形外角的性質(zhì),角平分線定義,平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用,難度適中,培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力.

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