Question

17．如圖：在△ABE中，點C是BE邊上的一點，連接AC，已知AD是∠BAC的角平分線，EF是AD的垂直平分線且交AB邊于點F．
（1）求證：△EAF≌△EDF；
（2）求證：DF∥AC；
（3）判斷∠EAC與∠B相等嗎？說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AF=DF，AE=DE，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AF=DF，由等邊對等角得到∠FAD=∠FDA，再根據(jù)角平分線定義得出∠BAD=∠CAD，等量代換得出∠ADF=∠CAD，再根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行即可證明DF∥AC；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAE=∠ADE，由外角的性質(zhì)得到∠B+∠BAD=∠EAC+∠DAC，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵EF是AD的垂直平分線，
∴AF=DF，AE=DE，
在△AEF與△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{AF=DF}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△EDF；

（2）∵EF是AD的垂直平分線，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴DF∥AC；

（3）∠EAC=∠B，
∵AE=DE，
∴∠DAE=∠ADE，
∴∠B+∠BAD=∠EAC+∠DAC，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠EAC=∠B．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線定義，平行線的判定等知識點的運用，難度適中，培養(yǎng)了學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．