Question

15．十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面樹（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

（1）根據(jù)上面多面體模型，填寫表格中的空格：

多面體	頂點(diǎn)數(shù)（V）	面數(shù)（F）	棱數(shù)（E）
四面體	4	4	6
長方體	8	6	12
正八面體	6	8	12
正十二面體	20	12	30

（2）根據(jù)上面的表格，猜想頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是V+F-E=2（用所給的字母表達(dá)）；
（2）若一個多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)少14，且有48條棱，則這個多面體的面數(shù)是18；
（3）有一個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它共有24個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)處都有3條棱，設(shè)該多面體的面數(shù)為x，求x的值．

Answer 1

分析 （1）觀察圖形即可得出結(jié)論；
（2）觀察可得頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2；
（3）代入（2）中的式子即可得到面數(shù)；
（4）先根據(jù)共有24個頂點(diǎn)、每個頂點(diǎn)處都有3條棱求出多面體的棱數(shù)，再根據(jù)題意列出方程解方程即可得．

解答 解：（1）觀察圖形，長方體的棱數(shù)為12，正八面體的頂點(diǎn)數(shù)為6；
（2）觀察表格可以看出：頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2，關(guān)系式為：V+F-E=2；
（3）由題意得：F+F+14-48=2，解得F=18；
（4）∵該多面體的頂點(diǎn)數(shù)V=24，且每個頂點(diǎn)處有3條棱，
∴該多面體的棱數(shù)E=$\frac{24×3}{2}$=36條，
設(shè)面數(shù)為x，
∵V+F-E=2，
∴24+x-36=2，
解得：x=14．
故答案為：（1）12，6；（2）V+F-E=2；（3）18．

點(diǎn)評 本題考查多面體的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)之間的關(guān)系及靈活運(yùn)用．