Question

17．如圖，兩個等邊△ABC，△ADE頂點A重合，過點E作BC的平行線，分別交AB，CD于F，G．
（1）求證：DF平分∠AFE；
（2）求證：AG∥BD．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，延長EG交AC于M，AE與DF交于點O，先證明△AFM是等邊三角形，再證明△MAE≌△FAD，得∠AEM=∠ADF，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以得到∠EFD=∠OAD=60°，由此即可證明．
（2）根據(jù)平行線的判定定理只要證明$\frac{OA}{OB}=\frac{OG}{OD}$，即可得到AG∥BD．

解答 證明：（1）如圖1中，延長EG交AC于M，AE與DF交于點O，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°
∵FM∥BC，
∴∠AFM=∠ABC=60°，∠AMF=∠ACB=60°，
∴∠AMF=∠AFM=60°，
∴△AFM是等邊三角形，
∴AM=AF，
∵△ADE是等邊三角形，
∴EA=AD，∠EAD=60°，
∴∠MAF=∠EAD，
∴∠MAE=∠FAD，
在△MAE和△FAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AF}\\{∠MAE=∠FAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△MAE≌△FAD，
∴∠AEM=∠ADF，
∵∠EOF=∠AOD，
∴∠EFD=∠OAD=60°，
∴∠AFO=180°-∠AFM-∠EFO=60°，
∴∠AFD=∠DFE，
∴DF平分∠AFE．
（2）如圖2中，AB與CD交于點O，
∵FG∥BC，
∴△OFG∽△OBC，
∴$\frac{OG}{OC}=\frac{FG}{BC}$    ①
∵∠DFA=∠CAB=60°，
∴DF∥AC，
∴$\frac{OC}{OD}=\frac{AC}{DF}$    ②
①×②得$\frac{OG}{OD}=\frac{GF}{DF}$，
∵$\frac{AO}{OF}=\frac{AC}{DF}$   ③，$\frac{OF}{OB}=\frac{FG}{BC}$    ④，
③×④得到$\frac{OA}{OB}=\frac{FG}{DF}$，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OG}{OD}$，
∴AG∥BD．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的判定定理等知識，解題的關(guān)鍵是尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題，第二個問題有點難度，有一定的代數(shù)化簡技巧．