Question

探究與發(fā)現(xiàn)：
平面內(nèi)，四條線段AB、BC、CD、DA首尾順次相接，BC與AD相交于點O．
（1）如圖1，若∠B=24°，∠D=42°，∠BAD和∠BCD的角平分線交于點M，求∠M的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠B=50°，∠D=32°，∠BAM=

1

3

∠BAD，∠BCM=

1

3

∠BCD，求∠M的度數(shù)；
（3）如圖3，設(shè)∠B=x°，∠D=y°，∠BAM=

1

n

∠BAD，∠BCM=

1

n

∠BCD，用含n、x、y的代數(shù)式表示∠M的度數(shù)（直接寫答案）．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)∠COD=x°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義可以利用x表示出∠BCM的值，以及∠APB的度數(shù)，即∠CPM的度數(shù)，在△CPM中，利用三角形的內(nèi)角和定理，即可求∠M．
（2）根據(jù)題意，設(shè)∠COD=x°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及∠BAM=

1

3

∠BAD，∠BCM=

1

3

∠BCD可以利用x表示出∠BCM的值，以及∠APB的度數(shù)，即∠CPM的度數(shù)，在△CPM中，利用三角形的內(nèi)角和定理，即可求∠M．
（3）同理求出∠M．

解答：（1）：如圖1，設(shè)∠COD=x°，則∠AOB=∠COD=x°，
△COD中∠BCD=180°-∠ADC-∠COD=180°-42°-x=138°-x，
∵CM平分∠BCD得到：
∠BCM=

1

2

∠BCD=69°-

1

2

x，
同理：∠BAM=∠MAD=78°-

1

2

x，
在△ABP中利用三角形內(nèi)角和定理得到
∠APB=180°-24°-（78°-

1

2

x）=78°+

1

2

x，
則∠CPM=∠APB=180°-24°-（78°-

1

2

x）=78°+

1

2

x，
在△CPM中三內(nèi)角的和是180°，
即：（69°-

1

2

x）+（78°+

1

2

x）+∠AMC=180°，
則∠AMC=33°；
（2）如圖2：設(shè)∠COD=x°，則∠AOB=∠COD=x°，
△COD中∠BCD=180°-∠ADC-∠COD=180°-32°-x=148°-x，
∵CM平分∠BCD得到：
∠BCM=

1

3

∠BCD=

148°

3

-

1

3

x，
同理：∠BAM=∠MAD=

130°

3

-

1

3

x，
在△ABP中利用三角形內(nèi)角和定理得到
∠APB=180°-50°-（

130°

3

-

1

3

x）=

260°

3

+

1

3

x，
則∠CPM=∠APB=180°-50°-（

130°

3

-

1

3

x）=

260°

3

+

1

3

x，
在△CPM中三內(nèi)角的和是180°，
即：（

148°

3

-

1

3

x）+（

260°

3

+

1

3

x）+∠AMC=180°，
136°+∠AMC=180°
所以∠M=44°．
（3）
∠M=∠B+

1

n

（∠BAD-∠BCD）=∠B+

1

n

（∠D-∠B）=x+

1

n

（y-x）=

n-1

n

x+

1

n

y

點評：在解題過程中如果需要一個量的值時，可以先把它設(shè)出，在解題過程中用所設(shè)的未知數(shù)表示，設(shè)的量可能也不需求出．