Question

木匠黃師傅用長AB=3，寬BC=2的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，他設(shè)計了四種方案：
方案一：直接鋸一個半徑最大的圓；
方案二：圓心O₁、O₂分別在CD、AB上，半徑分別是O₁C、O₂A，鋸兩個外切的半圓拼成一個圓；
方案三：沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形，適當(dāng)平移三角形并鋸一個最大的圓；
方案四：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個盡可能大的圓．
（1）寫出方案一中圓的半徑；
（2）通過計算說明方案二和方案三中，哪個圓的半徑較大？
（3）在方案四中，設(shè)CE=x（0＜x＜1），圓的半徑為y．
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
②當(dāng)x取何值時圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說明四種方案中哪一個圓形桌面的半徑最大．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）觀察圖易知，截圓的直徑需不超過長方形長、寬中最短的邊，由已知長寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1．
（2）方案二、方案三中求圓的半徑是常規(guī)的利用勾股定理或三角形相似中對應(yīng)邊長成比例等性質(zhì)解直角三角形求邊長的題目．一般都先設(shè)出所求邊長，而后利用關(guān)系代入表示其他相關(guān)邊長，方案二中可利用△O₁O₂E為直角三角形，則滿足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后對應(yīng)邊成比例整理方程，進而可求r的值．
（3）①類似（1）截圓的直徑需不超過長方形長、寬中最短的邊，雖然方案四中新拼的圖象不一定為矩形，但直徑也不得超過橫縱向方向跨度．則選擇最小跨度，取其

1

2

，即為半徑．由EC為x，則新拼圖形水平方向跨度為3-x，豎直方向跨度為2+x，則需要先判斷大小，而后分別討論結(jié)論．
②已有關(guān)系表達式，則直接根據(jù)不等式性質(zhì)易得方案四中的最大半徑．另與前三方案比較，即得最終結(jié)論．

解答：解：（1）方案一中的最大半徑為1．
分析如下：
因為長方形的長寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1；

（2）如圖1，方案二中連接O₁，O₂，過O₁作O₁E⊥AB于E，方案三中，過點O分別作AB，BF的垂線，交于M，N，此時M，N恰為⊙O與AB，BF的切點．

方案二：
設(shè)半徑為r，
在Rt△O₁O₂E中，
∵O₁O₂=2r，O₁E=BC=2，O₂E=AB-AO₂-CO₁=3-2r，
∴（2r）²=2²+（3-2r）²，
解得 r=

13

12

．
方案三：
設(shè)半徑為r，
在△AOM和△OFN中，

∠A=∠FON ∠OMA=∠FNO

，
∴△AOM∽△OFN，
∴

OM

AM

=

FN

ON

，
∴

r

3-r

=

2-r

r

，
解得 r=

6

5

．
比較知，方案三半徑較大；

（3）
①∵EC=x，
∴新拼圖形水平方向跨度為3-x，豎直方向跨度為2+x．
類似（1），所截出圓的直徑最大為3-x或2+x較小的．
a．當(dāng)3-x＜2+x時，即當(dāng)1＞x＞

1

2

時，y=

1

2

（3-x）；
b．當(dāng)3-x=2+x時，即當(dāng)x=

1

2

時，y=

1

2

（3-

1

2

）=

5

4

；
c．當(dāng)3-x＞2+x時，即當(dāng)0＜x＜

1

2

時，y=

1

2

（2+x）．
②當(dāng)x＞

1

2

時，y=

1

2

（3-x）＜

1

2

（3-

1

2

）=

5

4

；
當(dāng)x=

1

2

時，y=

1

2

（3-

1

2

）=

5

4

；
當(dāng)x＜

1

2

時，y=

1

2

（2+x）＜

1

2

（2+

1

2

）=

5

4

，
∴方案四中，當(dāng)x=

1

2

時，y最大為

5

4

．
∵1＜

13

12

＜

6

5

＜

5

4

，
∴方案四時可取的圓桌面積最大．

點評：本題考查了圓的基本性質(zhì)及通過勾股定理、三角形相似等性質(zhì)求解邊長及分段函數(shù)的表示與性質(zhì)討論等內(nèi)容，題目雖看似新穎不易找到思路，但仔細觀察每一小問都是常規(guī)的基礎(chǔ)考點，所以總體來說是一道質(zhì)量很高的題目，值得認真練習(xí)．