Question

設方程x²-mx+n=0的兩個實根分別為x₁，x₂，而以x₁²，x₂²為根的二次方程仍是x²-mx+n=0，則這樣的實數對（m，n）個數是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．0

Answer 1

【答案】分析：根據韋達定理求得x₁•x₂=n，x₁+x₂=m，所以x₁²•x₂²=n=n²①，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=m=m²-2n②，由①②聯立方程組，即可求得實數對（m，n）個數．
解答：解：∵方程x²-mx+n=0的兩個實根分別為x₁，x₂，
∴由韋達定理，得
x₁•x₂=n，x₁+x₂=m；
又∵x₁²，x₂²為根的二次方程仍是x²-mx+n=0，
∴x₁²•x₂²=n=n²，即n²-n=0，①
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=m=m²-2n，即m²-2n-m=0，②
由①②，解得
，，或，
∴這樣的實數對（m，n）個數是4個．
故選C．
點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．