Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3）．平行于對(duì)角線AC的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M，N，直線m運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．設(shè)△OMN的面積為S，則S與t之間函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{8}{t}^{2}（0＜t≤4）}\\{-\frac{3}{8}{t}^{2}+3t（4＜t＜8）}\end{array}\right.$．（結(jié)果化到最簡(jiǎn)）

Answer 1

分析 分討論：當(dāng)0＜t≤4時(shí)，利用MN∥AC得到$\frac{ON}{OC}$=$\frac{OM}{OA}$，則ON=$\frac{3}{4}$t，根據(jù)三角形面積公式得到y(tǒng)=$\frac{3}{8}$t²；當(dāng)直線m于AB和CB分別交于點(diǎn)M′、N′，此時(shí)直線m交x軸于D，如圖，則AD=t-4，證明△M′DA∽△CAO，利用相似比可表示出M′A=$\frac{3}{4}$（t-4），再確定4＜t＜8，然后根據(jù)三角形面積公式，利用y=S_△N′OD-S_△M′OD可得y=-$\frac{3}{8}$t²+3t．

解答 解：當(dāng)0＜t≤4時(shí)，∵B（4，3），
∴OA=4，OC=3，
∵M(jìn)N∥AC，
∴$\frac{ON}{OC}$=$\frac{OM}{OA}$，即$\frac{ON}{3}$=$\frac{t}{4}$，解得ON=$\frac{3}{4}$t，
∴y=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{3}{4}$t=$\frac{3}{8}$t²；
當(dāng)直線m于AB和CB分別交于點(diǎn)M′、N′，此時(shí)直線m交x軸于D，如圖，則AD=t-4，
∵∠M′DA=∠CAO，
∴△M′DA∽△CAO，
∴$\frac{M′A}{OC}$=$\frac{AD}{OA}$，即$\frac{M′A}{3}$=$\frac{t-4}{4}$，解得M′A=$\frac{3}{4}$（t-4），
當(dāng)$\frac{3}{4}$（t-4）=3時(shí)，t=8，
∴4＜t＜8，
y=S_△N′OD-S_△M′OD=$\frac{1}{2}$•3•t-$\frac{1}{2}$•t•$\frac{3}{4}$（t-4）=-$\frac{3}{8}$t²+3t，
綜上所述，S與t之間函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{8}{t}^{2}（0＜t≤4）}\\{-\frac{3}{8}{t}^{2}+3t（4＜t＜8）}\end{array}\right.$．
故答案為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{8}{t}^{2}（0＜t≤4）}\\{-\frac{3}{8}{t}^{2}+3t（4＜t＜8）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．