Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，直線y=x-1與x軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)C（0，3）的直線l∥x軸，與直線y=x-1交于點(diǎn)D，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸負(fù)半軸移動(dòng)，連接PD，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的距離為m．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求△PAD的面積S關(guān)于m的函數(shù)解析式；
（3）在x軸正半軸上取一點(diǎn)B，使AB=PA，連接BD，若△PBD為直角三角形，求m的值；
（4）作點(diǎn)O關(guān)于直線PD的對稱點(diǎn)O′，當(dāng)點(diǎn)O′落在直線l上時(shí)，請寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由條件可直接求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，由平行得出D點(diǎn)與C點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，再代入直線l的解析式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）用m表示出PA，而△PAD中把PA當(dāng)?shù)�，則高為OC，可表示出其面積；
（3）分點(diǎn)D和點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)進(jìn)行討論，借助直角三角形的性質(zhì)，求出PA的長，進(jìn)一步可求得m的值；
（4）由條件可得出PD是線段OO′的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可求出O′點(diǎn)的坐標(biāo)，再過點(diǎn)O′作O′F垂直x軸，在直角三角形中由勾股定理得到關(guān)于m的方程，求出m，則可得出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）直線y=x-1，令y=0，解得x=1，
故A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
因?yàn)閘∥x軸，且C（0，3），所以D點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，
把y=3代入y=x-1可得x=4，
故D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）；

（2）由題意可知PA=PO+AO=m+1，
所以S=

1

2

PA•OC=

1

2

（m+1）×3=

3

2

m+

3

2

，其中m＞0，
即S關(guān)于m的函數(shù)解析式為：S=

3

2

m+

3

2

（m＞0）；

（3）由條件知∠BPD為銳角，故只有點(diǎn)D或點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)．
如圖1，過D作DE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，則DE=OC=3，OE=CD=4，
所以AE=OE-OA=4-1=3，

在Rt△ADE中，由勾股定理可求得AD=3

2

，
當(dāng)PD⊥BD時(shí)，如圖2．

因?yàn)镻A=AB，所以A為PB的中點(diǎn)，
所以PA=AB=AD=3

2

，
即m+1=3

2

，求得m=3

2

-1；
當(dāng)PB⊥BD時(shí)，如圖3．

此時(shí)OB=CD=4，所以AB=OB-OA=4-1=3，
因?yàn)镻A=AB，所以m+1=3，解得m=2，
綜上知滿足條件的m的值為3

2

-1或2；

（4）如圖4，連接OD，O′P，由題意可知PD為線段OO′的垂直平分線，

所以O(shè)′D=OD=5，PO′=PO=m，
又CD=4，所以O(shè)′C=O′D-CD=5-4=1．
過O′作O′F⊥x軸交x軸于點(diǎn)F，
則O′F=OC=3，OF=O′C=1，所以PF=PO-FO=m-1，
在Rt△PFO′中，由勾股定理可得：（m-1）²+3²=m²，
解得m=5，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，0）．

點(diǎn)評：本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用，在（2）中表示出PA的長，在（3）中能正確分類討論，在（4）中得出PD是線段OO′的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．