Question

如圖，點M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，已知△MCN的周長等于正方形ABCD周長的一半，則∠MAN=________．

Answer 1

45°
分析：把△ADN繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AN，BE=DN，∠ABE=∠D=90°，∠NAE=90°，由∠ABC=90°得到點M、B、E共線，則ME=BE+BM=DN+BM，再利用△MCN的周長等于正方形ABCD周長的一半可得到MN=DN+BM，然后根據(jù)“SSS”可證明△MAN≌△MAE，則∠NAM=∠EAM，于是可計算出∠MAN=∠NAE=45°．
解答：把△ADN繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABE，
∴AE=AN，BE=DN，∠ABE=∠D=90°，∠NAE=90°，
而∠ABC=90°，
∴點M、B、E共線，
∴ME=BE+BM=DN+BM，
∵△MCN的周長等于正方形ABCD周長的一半，
∴MN+NC+MC=DC+BC=DN+NC+MC+BM，
∴MN=DN+BM，
∴MN=ME，
∵在△MAN和△MAE中，
，
∴△MAN≌△MAE（SSS），
∴∠NAM=∠EAM，
∴∠MAN=∠NAE=45°．
故答案為45°．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．