Question

如圖，過△ABC的邊BC的中點M作直線平行于∠BAC的平分線，且交直線AC和AB的反向延長線于點F、E．求證：CF＝(AB＋AC)．

Answer 1

答案：
解析：

證明：延長FM至G，使FM＝MG，連結BG，(如圖)，則 　　∵FM＝MG，BM＝MC，∠BMG＝∠CMF， 　　∴△BMG≌△CMF． 　　∴BG＝CF． 　　又∵平分∠BAC，EM∥， 　　∴∠E＝∠＝∠＝∠AFE＝∠CFG＝∠G． 　　∴AE＝AF，BE＝BG＝CF． 　　又∵BE＝AB＋AE，CF＝AC－AF， 　　∴AB＋AC＝BE＋CF＝2·CF． 　　即CF＝(AB＋AC)．

提示：

點悟：將所證等式變形為2·CF＝AB＋AC，由已知∥EM，且平分∠BAC得AE＝AF，再利用M為BC中點，構造全等三角形，將BE、CF集中到一個三角形中，間題即可解決． 　　點撥：對于證明一條線段(或幾條線段和)的幾倍(或幾分之一)的問題，可以看作是證明線段和的特殊情況． 　　遇到中點問題，常通過延長至二倍，從而構造出全等圖形，為解題帶來便利．