Question

17．將一個直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標系中，點A（4，0），點B（0，3），點O（0，0）．過邊OA上的動點M（點M不與點O，A重合）作MN丄AB于點N，沿著MN折疊該紙片，得頂點A的對應(yīng)點A′．
（1）如圖①，當點A′與頂點B重合時，求點M的坐標；
（2）如圖②，當動點M運動到邊AO的中點時，求點O與點A′的距離．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出AB，由折疊的性質(zhì)得出AN=BN=$\frac{1}{2}$AB=2.5，證明△AMN∽△ABO，得出對應(yīng)邊相等$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{OA}$，求出AM，得出OM即可；
（2）連接OA′，由（1）得：△AMN∽△ABO，得出$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{OA}$，求出AN=$\frac{8}{5}$，由折疊的性質(zhì)得：A′N=AN=$\frac{8}{5}$，A′A=$\frac{16}{5}$，MN是△OAA′的中位線，由三角形中位線定理得出MN∥OA′，∠AA′O=∠ANM=90°，由勾股定理求出OA′即可．

解答 解：（1）∵點A（4，0），點B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
由折疊的性質(zhì)得：AN=BN=$\frac{1}{2}$AB=2.5，∠ANM=90°=∠AOB，
∵∠NAM=∠OAB，
∴△AMN∽△ABO，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{OA}$，
即$\frac{AM}{5}=\frac{2.5}{4}$，
解得：AM=$\frac{25}{8}$，
∴OM=OA-AM=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∴M（$\frac{7}{8}$，0）；
（2）連接OA′，如圖所示：
∵M是AO的中點，
∴AM=OM=2，
由（1）得：△AMN∽△ABO，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{OA}$，即$\frac{2}{5}=\frac{AN}{4}$，
解得：AN=$\frac{8}{5}$，
由折疊的性質(zhì)得：A′N=AN=$\frac{8}{5}$，
∴A′A=$\frac{16}{5}$，MN是△OAA′的中位線，
∴MN∥OA′，∠AA′O=∠ANM=90°，
∴OA′=$\sqrt{O{A}^{2}-A′{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{16}{5}）^{2}}$=$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）中，運用勾股定理和三角形中位線定理得出結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵．