Question

如圖．在平面直角坐標系中，點0為坐標原點．直線y=

3

4

x+6與x軸交于點A，與y軸交于點C，點B為x軸正半軸上一點，∠CAB=∠OCB，點E從A點出發(fā)沿AC向C點運動，點F從B點出發(fā)沿BC向C點運動，兩點同時出發(fā)，速度均為1個單位/秒．并且一個點到達終點時另一個點也停止運動．設運動時間為t秒．
（1）求直線BC的解析式；
（2）連接EF．將線段EF繞點F順時針旋轉45°，得到線段FC，過點E作EM⊥FG．垂足為M，連接MC．求MC的長；
（3）在（2）的條件下，作點M關于直線EF的對稱點N，連接NB、CN．當t為何值時，△CNB為直角三角形．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：幾何綜合題,分類討論

分析：（1）根據(jù)y=

3

4

x+6與x軸交于點A，與y軸交于點C，求出OA=8，OC=6，設OB=a，根據(jù)

OC

OA

=

OB

OC

，求出a，得出點B的坐標，再把B、C兩點的坐標代入y=kx+b即可得出答案；
（2）過點M作MK⊥FC交AC于點K，根據(jù)∠EMK=∠FMC，∠MEK=∠MFC，ME=MF，證出△MEK≌△MFC，得出∠MCK=∠MKC=45°，再求出AC=10，BC=

15

2

，從而得出CE=10-t，CF=

15

2

-t，再求出CK=CE-EK=

5

2

，最后根據(jù)

2

CM=CK，即可得出CM的長；
（3）根據(jù)點N為點M關于直線EF的對稱點，得出四邊形MENF為正方形，當∠NBC=90°時，過點M作MD⊥BC交BC的延長線于點D，則∠MDF=∠NBF=90°，
再證出△MDF≌△FBN，得出MD=BF，再根據(jù)∠MCD=45°，MC=

5 2

4

，得出BF=MD=

2

2

MC=

5

4

，求出t=

5

4

秒時，△CNB為直角三角形．當∠BNC=90°時，
根據(jù)∠ENF=90°，得出∠ENC=∠FNB，∠MEC+∠CEN=∠CFM+∠BFN=90°，再證出∠CEN=∠BFN，得出△CEN≌△BFN，則CE=BF，從而得出10-t=t，求出t=5秒時，△CNB為直角三角形．

解答：解：（1）∵y=

3

4

x+6與x軸交于點A，與y軸交于點C，
∴A（-8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
設OB=a，
∵∠CAB=∠OCB，
∴tan∠CAB=tan∠OCB，
∴

OC

OA

=

OB

OC

，
∴

6

8

=

a

6

，
∴a=

9

2

，
∴B（

9

2

，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B、C兩點的坐標代入y=kx+b得：

6=b 0= 9 2 k+b

，
解得：

k=- 4 3 b=6

，
∴直線BC的解析式為y=-

4

3

x+6；
（2）過點M作MK⊥FC交AC于點K，
∵∠EMF=90°，
∴∠EMK=∠FMC，
∵∠ACB=90°，∠MHE=∠CHF，
∴∠MEK=∠MFC，
∵∠EFM=45°，
∴ME=MF，
∴△MEK≌△MFC，
∴EK=FC，MK=MC，
∴∠MCK=∠MKC=45°，
∵OC=6，OA=8，OB=

9

2

，
∴AC=10，BC=

15

2

，
∴CE=10-t，CF=

15

2

-t，
∴CK=CE-EK=10-t-（

15

2

-t）=

5

2

，
∴

2

CM=CK=

5

2

，
∴CM=

5 2

4

．
（3）∵點N為點M關于直線EF的對稱點，
∴四邊形MENF為正方形，
如圖（2），當∠NBC=90°時，
過點M作MD⊥BC交BC的延長線于點D，
則∠MDF=∠NBF=90°，
∵∠MFN=90°，
∴∠MFD+∠NFB=90°，∵∠FNB+∠NFB=90°，
∴∠MFD=∠FNB，
∵MF=NF，∴△MDF≌△FBN，
∴MD=BF，∵∠MCE=45°，
∴∠MCD=45°，
∵MC=

5 2

4

，∴BF=MD=

2

2

MC=

5

4

，
∴t=

5

4

秒時，△CNB為直角三角形．
如圖（3），當∠BNC=90°時，
∵∠ENF=90°，
∴∠ENC=∠FNB，
∠MEC+∠CEN=∠CFM+∠BFN=90°，
∵∠MEC=∠CFM，
∴∠CEN=∠BFN，
∵NE=NF，∴△CEN≌△BFN，
∴CE=BF，
∴10-t=t，t=5，∴t=5秒時，△CNB為直角三角形．
綜上所述：t=

5

4

秒或t=5秒時，△CNB為直角三角形．

點評：此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是一次函數(shù)的圖象和性質、全等三角形的判定與性質，解題時要注意分類討論思想的應用．