Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為2，AC、BD是⊙O的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，

2

），則四邊形ABCD的面積的最大值與最小值的差為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),勾股定理

專(zhuān)題：

分析：解答本題要注意當(dāng)AC、BD相等，且OM平分兩弦的相交的角時(shí)，此時(shí)四邊形ABCD的面積最大，求出對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)度可以求得四邊形ABCD的最大面積，當(dāng)BD為圓的直徑時(shí)可以求得圓的最小面積，兩者相減，得到答案．

解答：解：（1）當(dāng)AC、BD相等，且OM平分兩弦的相交的角時(shí)，這時(shí)O到弦的距離為：OM×sin45=

6

2

，
由勾股定理及垂徑定理知弦長(zhǎng)為：

10

，
∴S=

1

2

×

10

×

10

=5；
（2）當(dāng)弦BD經(jīng)過(guò)圓心O，此時(shí)四邊形ABCD的面積最小，此時(shí)
∵M(jìn)（1，

2

），
∴OM=

3

，MC=1，
根據(jù)垂徑定理，AC=2MC=2，
∴BD=4，
∴四邊形ABCD面積最大值與最小值的差5-4=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理以及坐標(biāo)與圖形的變換，當(dāng)對(duì)角線互相垂直時(shí)，四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，這一性質(zhì)要好好記憶，同時(shí)還要注意極值圖形的選取方法．