Question

已知：如圖，A是⊙O₁、⊙O₂的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)M是O₁O₂的中點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線BC垂直于MA，分別交⊙O₁、⊙O₂于B、C．
（1）求證：AB=AC；
（2）若O₁A切⊙O₂于點(diǎn)A，弦AB、AC的弦心距分別為d_l、d₂，求證：d₁+d₂=O₁O₂；
（3）在（2）條件下，若d₁d₂=1，設(shè)⊙O₁、⊙O₃的半徑分別為R、r，求證：R²+r²=．

Answer 1

證明：（1）分別作O₁D⊥AB于點(diǎn)D，O₂E⊥AC于點(diǎn)E．
則AB=2AD，AC=2AE．
∵O₁D∥AM∥O₂E，
∵M(jìn)為O₁O₂的中點(diǎn)，
∴AD=AE，AB=AC．

（2）∵O₁A切⊙O₂于點(diǎn)A，
∴O₁A⊥O₂A，
又∵M(jìn)為O₁O₂的中點(diǎn)，O₁O₂=2AM
在梯形O₁O₂ED中，
∵AM為梯形的中位線，O₁D+O₂E=2AM，
∴O₁D+O₂E=O₁O₂，
即d₁+d₂=O₁O₂．

（3）∵O₁A⊥O₂A，
∴∠AO₁D=∠O₂AE，
∴Rt△O₁AD∽R(shí)t△AO₂E．
∴==，
即==．
∴AD•AE=d₁•d₂=1．
即由（1）（2）知，AD=AE=1，O₁O₂=d₁+d₂，
∴d₁=，d₂=，
∴R²+r²=O₁O₂²=（d₁+d₂）²=（+）²=．
分析：（1）作O₁D⊥AB于點(diǎn)D，O₂E⊥AC于點(diǎn)E，分別運(yùn)用垂徑定理得到BD=AD，AE=CE，易得AB=AC；
（2）利用梯形中位線定理，即可O₁D+O₂E=2AM，d₁+d₂=O₁O₂；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，表示出d₁=，d₂=；再結(jié)合（2）的結(jié)論，進(jìn)行證明．
點(diǎn)評(píng)：解答此題要注意利用相交兩圓的特點(diǎn)，作出輔助線．構(gòu)造直角三角形和梯形，利用其性質(zhì)建立起各量之間的聯(lián)系．