Question

D為等邊△ABC外一點(diǎn)，且BD=CD，∠BDC=120°，點(diǎn)M，N分別在AB，AC上，若BM+CN=MN
（1）∠MDN=

60

度；
（2）作出△DMN的高DH，并證明DH=BD；
（3）在第（2）的基礎(chǔ)上，求證：MD平分∠BDH．

Answer 1

分析：（1）把△BDM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△CDE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DM=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，然后求出MN=EN，再利用“邊邊邊”證明△DMN和△DEN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠MDN=∠EDN，然后求出∠MDN=

1

2

∠BDC；
（2）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠DBC=∠DCB=30°，然后求出BD⊥AB，CD⊥AC，再利用△DMN和△DEN的面積相等，列式求解即可；
（3）根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上解答．

解答：（1）解：如圖，將△BDM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△CDE，
則DM=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，
∴EN=CE+CN=BM+CN=MN，
∵BM+CN=MN，
∴MN=EN，
在△DMN和△DEN中，

MN=EN DM=DE DN=DN

，
∴△DMN≌△DEN（SSS），
∴∠MDN=∠EDN，
∴∠MDN=

1

2

∠BDC

1

2

×120°=60°；

（2）證明：△DMN的高DH如圖，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=

1

2

（180°-120°）=30°，
在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACD=60°+30°=90°，
∴BD⊥AB，CD⊥AC，
S_△DMN=

1

2

MN•DH，S_△BDM+S_△CDN=

1

2

BM•BD+

1

2

CN•CD=

1

2

BD•（BM+CN），
∵BM+CN=MN，S_△DMN=S_△BDM+S_△CDN，
∴BD=DH；

（3）證明：∵∠ABD=90°，DH⊥MN，BD=DH，
∴MD平分∠BDH．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，（1）利用旋轉(zhuǎn)作出全等三角形是解題的關(guān)鍵．