Question

(2006，宜昌)如圖，⊙O的直徑BC=4，過點C作⊙O的切線m，D是直線m上一點，且DC=2，A是線段BO上一動點，連結AD交⊙O于點G，過點A作AD的垂線交直線m于點F，交⊙O于點H，連結GH交BC于點E．

(1)當A是BO的中點時，求AF的長；

(2)若∠AGH=∠AFD，求△AGH的面積．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)∵BC=4，A是OB的中點，∴AC=3． 又∵DC為⊙O的切線， ∴∠ACD=∠ACF=90°． ∵AD⊥AF， ∴∠ADC、∠CAF都與∠DAC互余， ∴∠ADC=∠FAC， ∴△ACD∽△FCA， ∴CD∶AC=CA∶FC． 解得． ． (2)∵∠AGH=∠AFD，∠DAF=∠HAG=90°， ∴△AGH∽△AFD， ∴∠AGH=∠F=∠CAG，∠AHG=∠D=∠CAF， ∴AE=CE=HE(或AE是Rt△AGH斜邊GH上的中線)． 根據(jù)垂徑定理推論：GH⊥BC， ∴可知GH是⊙O的直徑或GH是垂直于直徑的弦． ①如圖(1)，如果GH是直徑，此時A、B兩點重合，GH=4，而DF=10，∴△AGH與△AFD的相似比為2∶5， ∴△AGH與△AFD的面積比為4∶25． 而△AFD面積為， ∴△AGH面積為(或3.2)． ②如圖(2)，如果GH不是直徑，則GH⊥BC， ∴AC垂直平分GH，AG=AH，∴GH∥DF． 而∠GAH=90°，∴∠AGH=45°， ∴∠D=∠AGH=45°． 在Rt△ACD中，∠DAC=45°，∴AC=DC=2，而OC=2， ∴A、O兩點重合，那么AG=AH=2． ∴△AGH面積為．