Question

對(duì)于方程（1+a）x⁴+x³-（3a+2）x²-4a=0，
求證：（1）對(duì)于任何實(shí)數(shù)a都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)是它的解，求出這個(gè)實(shí)數(shù)解．
（2）存在一實(shí)數(shù)x，使得不論a為任何實(shí)數(shù)，x都不是這個(gè)方程的解．

Answer 1

解：（1）∵（1+a）x⁴+x³-（3a+2）x²-4a=0，
∴（x⁴-3x²-4）a+（x⁴+x³-2x²）=0，
即：（x²+1）（x+2）（x-2）a+x²（x+2）（x-1）=0，
∴（x+2）[（x²+1）（x-2）a+x²（x-1）]=0，
∴x+2=0或（x²+1）（x-2）a+x²（x-1）=0，
∵對(duì)于任何實(shí)數(shù)a都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)是它的解，
∴x=-2，
∴這個(gè)實(shí)數(shù)解為：x=-2；

（2）根據(jù)（1）可得：（x²+1）（x-2）a+x²（x-1）=0，
即（x²+1）（x-2）a=-x²（x-1），
∴當(dāng)（x²+1）（x-2）=0時(shí)，原方程無(wú)解，
即當(dāng)x=2時(shí)，不論a為任何實(shí)數(shù)，x都不是這個(gè)方程的解．
分析：（1）利用逆向思維，由對(duì)于任何實(shí)數(shù)a都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)是它的解，可以將原方程變形為關(guān)于a的一元一次方程，通過(guò)因式分解即可求得答案；
（2）根據(jù)（1），由當(dāng)（x²+1）（x-2）=0時(shí)，原方程無(wú)解，即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元一次方程的求解方法，因式分解，以及方程解的情況的分析．此題還考查了學(xué)生的逆向思維能力，解題的關(guān)鍵是將原方程變形為關(guān)于a的一元一次方程，通過(guò)因式分解求解．