Question

15．已知方程x²+3x-1=0的兩個實數(shù)根為α、β，不解方程求下列程式的值．
（1）α²+β²
（2）$\frac{α}{β}+\frac{β}{α}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出α+β和αβ，再把α²+β²變形（α+β）²-2αβ，代入計算即可；
（2）把$\frac{α}{β}+\frac{β}{α}$化為$\frac{{α}^{2}+{β}^{2}}{αβ}$，再代入計算即可．

解答 解：（1）∵方程x²+3x-1=0的兩個實數(shù)根為α、β，
∴α+β=-3，αβ=-1，
∴α²+β²=（α+β）²-2αβ
=9+2
=11；
（2）∵α+β=-3，αβ=-1，
∴$\frac{α}{β}+\frac{β}{α}$=$\frac{{α}^{2}+{β}^{2}}{αβ}$
=$\frac{11}{-1}$
=-11．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．