Question

5．閱讀下列材料：“為什么$\sqrt{2}$不是有理數(shù)”．
假設(shè)$\sqrt{2}$是有理數(shù)，那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)m，n，使得$\sqrt{2}$=$\frac{n}{m}$，于是有2m²=n²．
∵2m²是偶數(shù)，∴n²也是偶數(shù)，∴n是偶數(shù)．
設(shè)n=2t（t是正整數(shù)），則n²=4t²，即4t²=2m²，
∴2t²=m²，
∴m也是偶數(shù)
∴m，n都是偶數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾．
∴假設(shè)錯(cuò)誤，
∴$\sqrt{2}$不是有理數(shù)
有類似的方法，請證明$\sqrt{3}$不是有理數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)題意利用反證法假設(shè)$\sqrt{3}$是有理數(shù)，進(jìn)而利用假設(shè)得出矛盾，從而得出假設(shè)不成立原命題正確．

解答 解：假設(shè)$\sqrt{3}$是有理數(shù)，
則存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)m，n，使得$\sqrt{3}$=$\frac{n}{m}$，
于是有3m²=n²，
∵3m²是3的倍數(shù)，
∴n²也是3的倍數(shù)，
∴n是3的倍數(shù)，
設(shè)n=3t（t是正整數(shù)），則n²=9t²，即9t²=3m²，
∴3t²=m²，
∴m也是3的倍數(shù)，
∴m，n都是3的倍數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾，
∴假設(shè)錯(cuò)誤，
∴$\sqrt{3}$不是有理數(shù)．

點(diǎn)評 此題主要考查了實(shí)數(shù)的概念以及反證法的應(yīng)用，正確掌握反證法的基本步驟是解題關(guān)鍵．