Question

（2003•隨州）已知：如圖，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，點(diǎn)A在y軸的正方向上，對(duì)角線BD交y軸于點(diǎn)E，AB=，AD=2，AE=．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）（2）中所求的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得S_△PBD=S_?ABCD？若存在，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠ADE=∠EBO，可根據(jù)∠ADE的正切值求出BO，OE的比例關(guān)系，然后在直角三角形AOB中，用勾股定理即可求出OB，OE的長(zhǎng)，也就得出了B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）由（1）可求出OA的長(zhǎng)，也就得出了A，D的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）可先在x軸上找出一點(diǎn)F（在C點(diǎn)右側(cè)）使得S_△FBD=S_?ABCD，那么可得出F點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），如果過F點(diǎn)坐標(biāo)BD的平行線，那么平行線上的點(diǎn)與BD組成的三角形的面積就都與平行四邊形ABCD的面積相等（這些三角形都以BD為底邊，以平行線間的距離為高）．那么P點(diǎn)必為此直線與拋物線的交點(diǎn)，可先求出這條直線的解析式然后聯(lián)立拋物線的解析式來求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．（在y軸兩側(cè)各有一個(gè)類似F的點(diǎn)，如圖）．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BO，
∴△BOE∽△DAE
∴=，
即=
∴BO=3EO
在直角三角形ABO中，由AB²=BO²+AO²，
即（）²=BO²+（+BO）²．
整理得5BO²+2BO-7=0，
解得BO=1（負(fù)值舍去），
∴B（-1，0）．

（2）由（1）知：EO=BO=，
∴AO=+=1．
∴A（0，1），D（2，1）
設(shè)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得：，
解得，
y=-x²+x+1．

（3）①過F（3，0）作FK∥BD交AD延長(zhǎng)線于K，可得K（6，1）．
則FK上任一點(diǎn)與BD組成的三角形的面積等于S_?ABCD，
可求得直線FK的解析式為y=x-1．
解，
得：；
．
②過點(diǎn)F′（-2，1）作F′K′∥BD交x軸于K′，可的K′（-5，0）．
同樣F′K′上的任一點(diǎn)與BD組成的三角形面積等于S_?ABCD．
可求得直線F′K′的解析式為y=x+．
解知該方程組無解．
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-）或（3，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似、圖形面積的求法、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．