Question

15．我們借助學(xué)習(xí)“三角形全等的判定”獲得的經(jīng)驗(yàn)與方法，對(duì)“全等四邊形的判定”進(jìn)行探究．
規(guī)定：
（1）四條邊對(duì)應(yīng)相等，四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等．
（2）在兩個(gè)四邊形中，我們把“一條邊對(duì)應(yīng)相等”或“一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”稱(chēng)為一個(gè)條件．
【初步思考】
滿(mǎn)足4個(gè)條件的兩個(gè)四邊形不一定全等，如邊長(zhǎng)相等的正方形與菱形就不一定全等．類(lèi)似地，我們?nèi)菀字�道兩個(gè)四邊形全等至少需要5個(gè)條件．
【深入探究】
小莉所在學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了研究，她們認(rèn)為5個(gè)條件可分為以下四種類(lèi)型：
Ⅰ一條邊和四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；
Ⅱ二條邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；
Ⅲ三條邊和二個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；
Ⅳ四條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等．
（1）小明認(rèn)為“Ⅰ一條邊和四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)四邊形不一定全等，請(qǐng)你舉例說(shuō)明．
（2）小紅認(rèn)為“Ⅳ四條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)四邊形全等，請(qǐng)你結(jié)合下圖進(jìn)行證明．
已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形A₁B₁C₁D₁中，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，DA=D₁A₁，∠B=∠B₁．
求證：四邊形ABCD≌四邊形A₁B₁C₁D₁．
證明：

（3）小剛認(rèn)為還可以對(duì)“Ⅱ二條邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”進(jìn)一步分類(lèi)，他以四邊形ABCD和四邊形A₁B₁C₁D₁為例，分為以下幾類(lèi)：
①AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁；
②AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠D=∠D₁；
③AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁，∠D=∠D₁；
④AB=A₁B₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁．
其中能判定四邊形ABCD和四邊形A₁B₁C₁D₁全等的是①②③（填序號(hào)），概括可得一個(gè)“全等四邊形的判定方法”，這個(gè)判定方法是有一組鄰邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等．
（4）小亮經(jīng)過(guò)思考認(rèn)為也可以對(duì)“Ⅲ三條邊和二個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”進(jìn)一步分類(lèi)，請(qǐng)你仿照小剛的方法先進(jìn)行分類(lèi)，再概括得出一個(gè)不同于（3）中所示的全等四邊形的判定方法．

Answer 1

分析 （1）可以利用正方形與矩形進(jìn)行說(shuō)明；
（2）根據(jù)四條邊對(duì)應(yīng)相等，和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，結(jié)合圖形即可寫(xiě)出已知與求證．證明時(shí)可以連接AC、A₁ C₁，轉(zhuǎn)化為證明△ABC≌△A₁B₁C₁，和△ACD≌△A₁C₁D₁．即可證得；
（3）根據(jù)條件能證明①②③中△ABD≌△A₁B₁D₁（SAS），和△BCD≌△B₁C₁D₁（AAS或ASA），從而利用全等三角形的性質(zhì)與等式的性質(zhì)得出兩個(gè)四邊形四條邊對(duì)應(yīng)相等，四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，因而這兩個(gè)四邊形全等；
（4）寫(xiě)出三條邊對(duì)應(yīng)相等，和二個(gè)角對(duì)應(yīng)相等分情況進(jìn)行討論的情況即可．

解答 解：（1）如正方形與矩形有一條邊對(duì)應(yīng)相等，但顯然不一定全等． 

（2）已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形A₁ B₁ C₁ D₁中，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，DA=D₁A₁，∠B=∠B₁．
求證：四邊形ABCD≌四邊形A₁B₁C₁D₁．
證明：連接AC、A₁C₁．
∵AB=A₁B₁，∠B=∠B₁，BC=B₁C₁，
∴△ABC≌△A₁B₁C₁，
∴AC=A₁C₁，∠BAC=∠B₁A₁C₁，∠BCA=∠B₁C₁A₁．
又∵CD=C₁D₁，DA=D₁A₁，
∴△ACD≌△A₁C₁D₁．
∴∠D=∠D₁，∠DAC=∠D₁A₁C₁，∠DCA=∠D₁C₁A₁，
∴∠BAD=∠B₁A₁D₁，∠BCD=∠B₁C₁D₁，
∴四邊形ABCD≌四邊形A₁B₁C₁D₁；

（3）①②③；   
有一組鄰邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等．

（4）分為四類(lèi)：
①AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁；
②AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠C=∠C₁；
③AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠D=∠D₁；
④AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁．
有三條邊和這三條邊中每一組鄰邊的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等．
故答案為（2）四邊形ABCD和四邊形A₁ B₁ C₁ D₁中，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，DA=D₁A₁，∠B=∠B₁；四邊形ABCD≌四邊形A₁B₁C₁D₁；
（3）①②③；有一組鄰邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：四邊形的全等，三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意：多邊形的全等可以通過(guò)作輔助線(xiàn)轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問(wèn)題．