Question

【題目】（發(fā)現(xiàn)問(wèn)題）愛(ài)好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時(shí)碰到這樣的一道題目：

如圖①，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A（2，0）．動(dòng)點(diǎn)B在⊙O上，連結(jié)AB，作等邊△ABC（A，B，C為順時(shí)針順序），求OC的最大值

（解決問(wèn)題）小明經(jīng)過(guò)多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接OB，以O(shè)B為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE，連接AE．

（1）請(qǐng)你找出圖中與OC相等的線段，并說(shuō)明理由；

（2）求線段OC的最大值．

（靈活運(yùn)用）

（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（遷移拓展）

（4）如圖③，BC＝4，點(diǎn)D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊作等邊△ABD，請(qǐng)直接寫出AC的最值．

Answer 1

【答案】（1）結(jié)論：OC＝AE，理由見解析；（2）OC的最大值為3；（3）最大值為2+3；P（2﹣，）；（4）AC的最大值為2+2， 2﹣2．

【解析】

（1）結(jié)論：，只要證明即可；

（2）利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問(wèn)題；

（3）連接，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，得到是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線時(shí)，線段取得最大值，即可得到最大值為，過(guò)作軸于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；

（4）如圖4中，以為邊作等邊三角形，由，推出，推出欲求的最大值，只要求出的最大值即可，由定值，，推出點(diǎn)在以為直徑的上運(yùn)動(dòng)，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)在上方，時(shí)，的值最大.

（1）如圖①中，結(jié)論：OC＝AE，

理由：∵△ABC，△BOE都是等邊三角形，

∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，

∴∠CBO＝∠ABE，

∴△CBO≌△ABE，

∴OC＝AE．

（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，

∴當(dāng)E、O、A共線，

∴AE的最大值為3，

∴OC的最大值為3．

（3）如圖1，連接BM，

∵將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），

∴OA＝2，OB＝5，

∴AB＝3，

∴線段AM長(zhǎng)的最大值＝線段BN長(zhǎng)的最大值，

∴當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值（如圖2中）

最大值＝AB+AN，

∵AN＝AP＝2，

∴最大值為2+3；

如圖2，過(guò)P作PE⊥x軸于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，

∴P（2﹣，）．

（4）如圖4中，以BC為邊作等邊三角形△BCM，

∵∠ABD＝∠CBM＝60°，

∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，

∴△ABC≌△DBM，

∴AC＝MD，

∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，

∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，

∴點(diǎn)D在以BC為直徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)，

由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)D在BC上方，DM⊥BC時(shí)，DM的值最大，最大值＝2+2，

∴AC的最大值為2+2．

當(dāng)點(diǎn)A在線段BD的右側(cè)時(shí)，同法可得AC的最小值為2﹣2．