Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為 個(gè)平方單位？

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

由題意，得 ，

解得 ，

所以，直線AB的解析式為y=﹣ x+6

（2）解：由AO=6，BO=8得AB=10，

所以AP=t，AQ=10﹣2t，

① 當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB．

所以 = ，

解得t= （秒），

②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB．

所以 = ，

解得t= （秒）；

∴當(dāng)t為 秒或 秒時(shí)，△APQ與△AOB相似

（3）解：過(guò)點(diǎn)Q作QE垂直AO于點(diǎn)E．

在Rt△AOB中，sin∠BAO= = ，

在Rt△AEQ中，QE=AQsin∠BAO=（10﹣2t） =8﹣ t，

S△APQ= APQE= t（8﹣ t），

=﹣ t2+4t= ，

解得t=2（秒）或t=3（秒）．

∴當(dāng)t為2秒或3秒時(shí)，△APQ的面積為 個(gè)平方單位

【解析】（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，解得k，b即可；（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解t．②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解得t．（3）過(guò)點(diǎn)Q作QE垂直AO于點(diǎn)E．在Rt△AEQ中，QE=AQsin∠BAO=（10﹣2t） =8﹣ t，再利用三角形積解得t即可．