Question

分解因式：
（1）x³+3x²-4；
（2）x⁴-11x²y²+y⁴；
（3）x³+9x²+26x+24；
（4）x⁴-12x+323．

Answer 1

解：（1）x³+3x²-4
=x³+2x²+x²-4
=x²（x+2）+（x+2）（x-2）
=（x+2）（x²+x-2）
=（x+2）（x+2）（x-1）
=（x+2）²（x-1）．

（2）x⁴-11x²y²+y⁴
=（x⁴-2x²y²+y⁴）-9x²y²
=（x²-y²）²-（3xy）²
=（x²-y²+3xy）（x²-y²-3xy）．

（3）x³+9x²+26x+24
=（x³+2x²）+（7x²+14x）+（12x+24）
=x²（x+2）+7x（x+2）+12（x+2）
=（x+2）（x²+7x+12）
=（x+2）（x+3）（x+4）．

（4）設(shè)x⁴-12x+323=（x²+ax+17）（x²+bx+19），
∴由多項(xiàng)式的乘法得到：x⁴+（a+b）x³+（36+ab）x²+（19a+17b）x+323=x⁴-12x+323．
∴a+b=0，
ab+36=0
19a+17b=-12．
∴a=-6，b=6．
∴x⁴-12x+323
=（x²-6x+17）（x²+6x+19）．
分析：（1）先分組為（x³+2x²）+（x²-4），再用平方差公式和提公因式因式分解．
（2）先分組為（x⁴-2x²y²+y⁴）-9x²y²，再把前面的式子寫出完全的形式后，用平方差公式因式分解．
（3）先分組為（x³+2x²）+（7x²+14x）+（12x+24），對每個括號內(nèi)的式子提取公因式和，均有公因式x+2，提公因式（x+2）后，剩下的式子再用十字相乘法因式分解．
（4）由常數(shù)項(xiàng)323=17×19，可以把上面的式子寫成（x²+ax+17）（x²+bx+19）的形式，因?yàn)樯厦媸阶又袥]有三次項(xiàng)和二次項(xiàng)，并由一次項(xiàng)的系數(shù)是-12，可以求出a，b的值，然后把上面的式子因式分解．
點(diǎn)評：本題考查的是因式分解，（1）題分組后再用平方差公式和提公因式法因式分解．（2）題分組后用完全平方公式和平方差公式因式分解．（3）題分組后用提公因式和十字相乘法因式分解．（4）根據(jù)常數(shù)項(xiàng)是兩個質(zhì)數(shù)的乘積，對多項(xiàng)式設(shè)字母系數(shù)因式分解，再用多項(xiàng)式的乘法法則計算，根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，求出字母系數(shù)的值，然后對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．