Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AC=3，DE=2，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵AD為∠EAB的平分線，
∴∠EAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵AE⊥ED，
∴OD⊥DE，
則DE為圓O的切線；
（2）∵DE為圓的切線，AE為圓的割線，
∴DE²=EC•EA=EC•（EC+AC），
∵AC=3，DE=2，
∴4=EC（EC+3），即EC²+3EC-4=0，即（EC-1）（EC+4）=0，
解得：EC=1，
則AE=AC+CE=3+1=4，
在Rt△AED中，AE=4，DE=2，
根據(jù)勾股定理得：AD=2．
分析：（1）連接OD，由AD為角平分線得到一對(duì)角相等，再由OA=OD，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OD與AE平行，由AE垂直于ED得到OD垂直于DE，即可得證；
（2）由ED為圓的切線，EA為圓的割線，利用切割線定理列出關(guān)系式，將AC與DE長(zhǎng)代入求出EC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)，在直角三角形AED中，利用勾股定理即可求出AD的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，切割線定理，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．