Question

如圖，二次函數(shù)y＝ax²－5ax＋4a(a≠0)的圖象與x軸交于Ａ、B兩點(A在B的左側)，與y軸交于點C，點C關于拋物線對稱軸的對稱點為D，連結BD．

(1)求A、Ｂ兩點的坐標；

(2)若AD⊥BC，垂足為P，求二次函數(shù)的表達式；

(3)在(2)的條件下，若直線x＝m把△ABD的面積分為1∶2的兩部分，求m的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵拋物線與x軸交于A、B兩點∴ax2－5ax＋4a＝0　1分 　　∵a≠0 　　∴x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4　3分 　　∴A(1，0)，B(4，0)　4分 　　(2)(方法一)連結AC、CD，由對稱性知：四邊形ABDC是等腰梯形 　　∴∠CAB＝∠DBA 　　在△ABC與△BAD中，AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA 　　∴△ABC≌△BAD 　　∴∠1＝∠2　6分 　　∵AD⊥BC 　　∴∠1＝∠2＝45° 　　∵∠BOC＝90° 　　∴∠OCB＝∠1＝45° 　　∴OC＝OB＝4　∴C(0，4)　8分 　　把C(0，4)的坐標代入y＝ax2－5ax＋4a得4a＝4 　　∴a＝1 　　∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2－5x＋4　10分 　　(方法二)∵A、C兩點關于拋物線對稱軸的對稱點分別為B、D 　　∴AD、BC的交點P在拋物線對稱軸上　∴PA＝PB　6分 　　∵AD⊥BC 　　∴∠1＝∠2＝45° 　　∵∠BOC＝90° 　　∴∠OCB＝∠1＝45° 　　∴OC＝OB＝4 　　∴C(0，4)　8分 　　把C(0，4)的坐標代入y＝ax2－5ax＋4a得 　　4a＝4　∴a＝1 　　∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2－5x＋4　10分 　　(3)(方法一)S△ABD＝×3×4＝6 　　設直線x＝m與AD、AB分別交于M、N，則AN＝m－1由(2)得∠1＝45°，∠2＝90° 　　∴MN＝AN＝m－1 　　∴S△AMN＝(m－1)2　11分 　　當S△AMN＝S△ABD時，(m－1)2＝×6 　　解得m＝3(負值舍去)　12分 　　當S△AMN＝S△ABD時，(m－1)2＝×6 　　解得m＝＋1(負值舍去)　13分 　　過B作BE⊥AB交AD于E，則S△ABE＝4.5， 　　S△ABD＝4，∵4.5＞4 　　∴點N在線段AB上　∴m＜4 　　綜上所述，m的值為3或＋1　14分 　　(方法二)S△ABD＝×3×4＝6 　　設直線x＝m與AD、AB分別交于M、N 　　由(2)得∠1＝45°，∠2＝90°　∴MN＝AN 　　∴S△AMN＝AN·MN＝AN2　11分 　　當S△AMN＝S△ABD時，AN2＝2，解得AN＝2． 　　∴ON＝3即m＝3　12分 　　當S△AMN＝S△ABD時，AN2＝4，解得AN＝ 　　∴ON＝＋1即m＝＋1　13分 　　過B作BE⊥AB交AD于E，則S△ABE＝4.5， 　　S△ABD＝4，∵4.5＞4 　　∴點N在線段AB上　∴m＜4 　　綜上所述，m的值為3或＋1　14分 　　(注：沒有判斷直線x＝m與x軸交點在線段AB上扣1分)