學(xué)習(xí)了勾股定理的逆定理,我們知道:在一個三角形中,如果兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形為直角三角形.類似地,我們定義:對于任意的三角形,設(shè)其三個角的度數(shù)分別為x°、y°和z°,若滿足x2+y2=z2,則稱這個三角形為勾股三角形.
(1)根據(jù)“勾股三角形”的定義,請你直接判斷命題:“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題?
(2)已知某一勾股三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)從小到大依次為x°、y°和z°,且xy=2160,求x+y的值;
(3)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=
6
,AC=1+
3
,BC=2,⊙O的直徑BE交AC于點D.
①求證:△ABC是勾股三角形;
②求DE的長.
分析:(1)直接根據(jù)“勾股三角形”的定義,判斷得出即可;
(2)利用已知得出等量量關(guān)系組成方程組,進而求出x+y的值;
(3)①過B作BH⊥AC于H,設(shè)AH=x,利用勾股定理首先得出AH=BH=
3
,HC=1,進而得出∠A=45°,∠C=60°,∠B=75°,即可得出答案;
②過D作DK⊥AB于K,設(shè)KD=h,首先得出h+
3
h=
6
,進而得出h的值,求出BD,進而得出DE的長.
解答:解:(1)∵對于任意的三角形,設(shè)其三個角的度數(shù)分別為x°、y°和z°,若滿足x2+y2=z2,則稱這個三角形為勾股三角形,
∴無法得到,所有直角三角形是勾股三角形,故是假命題;

(2)由題意可得:
x+y+z=180
xy=2160
x2+y2=z2
,
解得:x+y=102;

(3)①證明:過B作BH⊥AC于H,設(shè)AH=x,
Rt△ABH中,BH=
6-x2

Rt△CBH中,(
6-x2
2+(1+
3
-x)2=4,
解得:x=
3
,
 所以,AH=BH=
3
,HC=1,
∴∠A=∠ABH=45°,
∴tan∠HBC=
CH
BH
=
1
3
=
3
3

∴∠HBC=30°,
∴∠BCH=60°,∠B=75°,
∴452+602=752
∴△ABC是勾股三角形;

②連接CE,
∵∠A=45°,
∴∠BEC=∠BAC=45°,
又∵BE是直徑,
∴∠BCE=90°,
∴BC=CE=2,
過D作DK⊥AB于K,設(shè)KD=h,
∵∠EBC=45°,∠ABC=75°,
∴∠ABE=30°,
BK=
3
h
,AK=h,
∴h+
3
h=
6
,
解得:h=
3
2
-
6
2

∴BD=2KD=2h=3
2
-
6
,
∴BE-BD=2
2
-(3
2
-
6
)=
6
-
2
點評:此題主要考查了新定義以及多元方程組解法以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系,利用勾股定理得出AH,HC的長是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

八年級三班小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后,為了測得下圖風(fēng)箏CE的高度,他們進行了如精英家教網(wǎng)下操作:
(1)測得BD的長度為16米.
(2)根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC的長為63米.
(3)牽線放風(fēng)箏的小明身高1.6米.
求風(fēng)箏的高度CE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

20、學(xué)習(xí)了勾股定理以后,有同學(xué)提出“在直角三角形中,三邊滿足a2+b2=c2,或許其他的三角形三邊也有這樣的關(guān)系”.讓我們來做一個實驗!
(1)畫出任意一個銳角三角形,量出各邊的長度(精確到1毫米),較短的兩條邊長分別是a=
6
mm;b=
8
mm;較長的一條邊長c=
9
mm.比較=a2+b2
c2(填寫“>”,“<”,或“=”);
(2)畫出任意的一個鈍角三角形,量出各邊的長度(精確到1毫米),較短的兩條邊長分別是a=
6
mm;b=
8
mm;較長的一條邊長c=
11
mm.比較a2+b2
c2(填寫“>”,“<”,或“=”);
(3)根據(jù)以上的操作和結(jié)果,對這位同學(xué)提出的問題,你猜想的結(jié)論是:
若△ABC是銳角三角形,則有a2+b2>c2
若△ABC是鈍角三角形,∠C為鈍角,則有a2+b2<c2
,類比勾股定理的驗證方法,相信你能說明其能否成立的理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某興趣小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后提出:“銳(鈍)角三角形有沒有類似于勾股定理的結(jié)論”的問題.首先定義了一個新的概念:如圖(1)△ABC中,M是BC的中點,P是射線MA上的點,設(shè)
APPM
=k,若∠BPC=90°,則稱k為勾股比.

(1)如圖(1),過B、C分別作中線AM的垂線,垂足為E、D.求證:CD=BE.
(2)①如圖(2),當(dāng)=1,且AB=AC時,AB2+AC2=
2.5
2.5
BC2(填一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)).
②如圖(1),當(dāng)k=1,△ABC為銳角三角形,且AB≠AC時,①中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請寫出證明過程;若不成立,也請說明理由;
③對任意銳角或鈍角三角形,如圖(1)、(3),請用含勾股比k的表達式直接表示AB2+AC2與BC2的關(guān)系(寫出銳角或鈍角三角形中的一個即可).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:學(xué)習(xí)周報 數(shù)學(xué) 華師大八年級版 2009-2010學(xué)年 第8期 總第164期 華師大版 題型:044

下面是數(shù)學(xué)課堂上的一個學(xué)習(xí)片段,閱讀后,請回答下面的問題

學(xué)習(xí)了勾股定理的有關(guān)內(nèi)容后,張老師請同學(xué)們交流討論這樣一個問題:“已知Rt△ABC的兩邊長分別為3和4,請你求出第三邊長的平方.”

同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后,李明同學(xué)舉手說:“第三邊長的平方是25”;王華同學(xué)說:“第三邊長的平方是7”.還有一些同學(xué)也提出了不同的看法

(1)假如你也在課堂上,你的意見如何?為什么?

(2)通過上面數(shù)學(xué)問題的討論,你有什么感受?(用一句話表示)

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同步練習(xí)冊答案