Question

9．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AG平分∠CAB，EF∥AB，AC=6，BC=8．
（1）求證：CE=FB；
（2）求FG的長．

Answer 1

分析 （1）先證CE=CG，從而將問題轉(zhuǎn)化為證CG=BF，由于CG與BF之間為線段GF，從而只需證明CF=BF即可，于是作GH⊥AB于H，證明△CEF≌△GHB即可得出結(jié)論；
（2）先算出AB的長，再利用角平分線比例定理直接算出CG和BG的長度，結(jié)合（1）中結(jié)論即可算出FG的長．

解答 解：（1）∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG=∠BAG，
∵∠ACG=90°，
∴∠CAG+∠CGA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DAE+∠DEA=90°，
∵∠DEA=∠CEG，
∴∠CEG=∠CGE，
∴CE=CG，
作GH⊥AB于H，如圖，

則GH=GC=CE，
∵EF∥AB，
∴EF⊥CD，∠CFE=∠GBH，
在△CEF和△GHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEF=∠GHB}\\{CE=GH}\\{∠CFE=∠GBH}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△GHB（AAS），
∴CF=BG，
∴BF=CG=CE；
（2）∵AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵AG平分∠CAB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CG}{GB}$，
∴$\frac{CG}{GB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴$CG=\frac{3}{8}BC=3$，
∴GB=5，
∴GF=GB-BF=5-3=2．

點評 本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、角平分線比例定理，難度中等．（1）中CE=CG是基本結(jié)論，可記住，以后遇到類似情景可迅速反應(yīng)；（2）問利用角平分線比例定理算線段長度非常方便，要特別注意一下．