Question

23、已知△ABC，分別以AB、BC、CA為邊向形外作等邊三角形ABD、等邊三角形BCE、等邊三角形ACF．
（1）如圖，當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，請(qǐng)你寫(xiě)出滿(mǎn)足圖中條件，四個(gè)成立的結(jié)論；
（2）如圖，當(dāng)△ABC中只有∠ACB=60°時(shí)，請(qǐng)你證明S_△ABC與S_△ABD的和等于S_△BCE與S_△ACF的和．

Answer 1

分析：（1）由等邊三角形的性質(zhì)可寫(xiě)出結(jié)論．
（2）要證明以上結(jié)論，需創(chuàng)造一些條件，首先可從△ABC中分出一部分使得與△ACF的面積相等，則過(guò)A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，就可創(chuàng)造出這樣的條件，然后再證其它的面積也相等即可．

解答：解：（1）DE=EF，DF=EF，∠D=∠E=∠F，A、B、C分別為DF、DE、EF的中點(diǎn)．
（2）過(guò)A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，
∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，
∴∠ACB=∠CAF．
∴AF∥MC．
∴四邊形AMCF是平行四邊形．
又∵FA=FC，
∴四邊形AMCF是菱形．
∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°．
∵在△BAC與△EMC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△BAC≌△EMC．
∴DM=BC．
∴DM=EB，DB=EM．
∴四邊形DBEM是平行四邊形．
∴S_△BDM+S_△DAM+S_△MAC=S_△BEM+S_△EMC+S_△ACF
即S_△ABC+S_△ABD=S_△BCE+S_△ACF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及平行四邊的判定和全等三角形的判定，難度很大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問(wèn)題的精神．