Question

如圖，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，F(xiàn)為AB的中點，DF與AC交于點G，EF與BC交于點H，則AG、BH、GH滿足的等量關(guān)系為

GH²=AG²+BH²

．

Answer 1

分析：延長HF到M，使MF=HF，連接AM、GM，利用“邊角邊”證明△AMF和△BHF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AM=BH，∠MAF=∠B，然后求出∠CAM=90°再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得GH=GM，然后利用勾股定理列式即可．

解答：解：如圖，延長HF到M，使MF=HF，連接AM、GM，
∵F為AB的中點，
∴AF=BF，
在△AMF和△BHF中，

AF=BF ∠AFM=∠BFH MF=HF

，
∴△AMF≌△BHF（SAS），
∴AM=BH，∠MAF=∠B，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
∴∠CAM=∠CAB+∠MAF=90°，
又∵∠DFE=90°，MF=HF，
∴GH=GM，
在Rt△AGM中，GM²=AG²+AM²，
∴GH²=AG²+BH²．
故答案為：GH²=AG²+BH²．

點評：本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線，構(gòu)造出全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．