Question

16．如圖，已知第二象限的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$上，過點(diǎn)A作AB⊥AO交x軸于點(diǎn)B，∠AOB=60°．將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，則k的值為（　�。�

• A． -2$\sqrt{3}$
• B． -$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． -4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作AC⊥x軸于C，B′D⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$系數(shù)k的幾何意義求得S_△AOC=$\frac{1}{2}$×|-$\sqrt{3}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，進(jìn)而根據(jù)△AOC∽△BOA和直角三角函數(shù)求得S_△AOB=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，然后證得△B′OD≌△BOA，得出S_△B′OD=S_△AOB=2$\sqrt{3}$，最后根據(jù)根據(jù)反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$系數(shù)k的幾何意義得出k=-4$\sqrt{3}$．

解答 解：作AC⊥x軸于C，B′D⊥x軸于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$上，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$×|-$\sqrt{3}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AB⊥AO，∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠ACO=∠BAO=90°，∠AOC=∠BOA，
∴△AOC∽△BOA，
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}$=（$\frac{OB}{OA}$）²=4，
∴S_△AOB=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∵將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，∠AOB=60°，
∴A、O、B′在一條直線上，
∴∠B′OD=∠AOB，OB=OB′，
在△B′OD和△BOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B′OD=∠AOB}\\{∠ODB′=∠OAB=90°}\\{OB′=OB}\end{array}\right.$，
∴△B′OD≌△BOA（AAS），
∴S_△B′OD=S_△AOB=2$\sqrt{3}$，
∵S_△B′OD=$\frac{1}{2}$|k|，圖象在第四象限，
∴k=-4$\sqrt{3}$．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$系數(shù)k的幾何意義，坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．