Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象過點(diǎn)A（0，-2）和點(diǎn)B（2，-2），且點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．
（1）求b，c的值，并判斷點(diǎn)C是否在此拋物線上，并說明理由；
（2）若點(diǎn)P為此拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于x軸，y軸的對稱點(diǎn)分別為M，N，問是否存在這樣的P點(diǎn)使得M，N恰好都在直線BC上？如存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如不存在，并說明理由；
（3）若點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)點(diǎn)P在位于直線BC下方的拋物線上運(yùn)動時，求四邊形PBQC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）將A（0，-2）、B（2，-2）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，得到關(guān)于b，c的二元一次方程組，解方程組求出b，c的值；根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再用代入法即可判斷C點(diǎn)在此拋物線上；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-x．再假設(shè)此拋物線上存在這樣的點(diǎn)P（x，$\frac{1}{2}$x²-x-2），使得它關(guān)于x軸，y軸的對稱點(diǎn)M，N恰好都在直線BC上，根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出方程$\frac{1}{2}$x²-x-2=x，解方程即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）先判定四邊形PBQC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出當(dāng)△PBC面積最大時，四邊形PBQC的面積最大．將直線BC向下平移t個單位得到直線y=-x-t，當(dāng)它與拋物線只有一個交點(diǎn)時，△PBC面積最大．利用判別式△=0求出t的值，進(jìn)而求解即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象過點(diǎn)A（0，-2）和點(diǎn)B（2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{2+2b+c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-x-2．
∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，
∴C（-2，2），
把x=-2代入y=$\frac{1}{2}$x²-x-2，得y=$\frac{1}{2}$×（-2）²-（-2）-2=2，
∴C（-2，2）在此拋物線上；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
∵B（2，-2），C（-2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-2}\\{-2m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=0}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x．
假設(shè)此拋物線上存在這樣的點(diǎn)P（x，$\frac{1}{2}$x²-x-2），使得它關(guān)于x軸，y軸的對稱點(diǎn)M，N恰好都在直線BC上，
∵M(jìn)（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+2），N（-x，$\frac{1}{2}$x²-x-2），
∴$\frac{1}{2}$x²-x-2=x，
解得x=2±2$\sqrt{2}$，
故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+2$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），或（2-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）；

（3）∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴四邊形PBQC是平行四邊形，
∴S_?PBQC=2S_△PBC，
∴當(dāng)△PBC面積最大時，四邊形PBQC的面積最大．
將直線BC向下平移t個單位得到直線y=-x-t，當(dāng)它與拋物線只有一個交點(diǎn)時，△PBC面積最大．
把y=-x-t代入y=$\frac{1}{2}$x²-x-2，得-x-t=$\frac{1}{2}$x²-x-2，
整理得，$\frac{1}{2}$x²-2+t=0，
△=0-4×$\frac{1}{2}$（-2+t）=0，
解得t=2，
解方程$\frac{1}{2}$x²-2+2=0，解得x=0，
則y=-2，即P（0，-2），
此時四邊形PBQC的面積的最大值為：2×4=8．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合以及方程思想是解題的關(guān)鍵．