Question

直線y=

1

2

x+2與兩坐標軸交于A、B兩點，以AB為斜邊在第二象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，y=

k

x

(x＜0)的圖象過點C，則k=

-9

．

Answer 1

分析：過C點作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，先確定A點坐標為（-4，0），B點坐標為（0，2），再利用勾股定理計算出AB=2

5

，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=90°，CA=CB=

2

2

AB=

10

，
由于∠DCE=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD=∠BCE，易證得Rt△ACD≌Rt△BCE，則CD=CE，得到四邊形CDOE為正方形，并且正方形CDOE的面積=四邊形CAOB的面積，再計算出四邊形CAOB的面積=S_△CAB+S_△OAB=

1

2

CA•CB+

1

2

OA•OB=9，則CD=CE=3，可確定C點坐標為（-3，3），然后把C點坐標代入反比例函數(shù)解析式即可得到k的值．

解答：解：如圖，過C點作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，
令x=0，y=2；令y=0，

1

2

x+2=0，解得x=-4，則A點坐標為（-4，0），B點坐標為（0，2），
在Rt△OAB中，OA=4，OB=2，
∴AB=

OA2+OB2

=2

5

，
∵△ACB為等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，CA=CB=

2

2

AB=

10

，
而∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE，
∴CD=CE，
∴四邊形CDOE為正方形，
∴正方形CDOE的面積=四邊形CAOB的面積=S_△CAB+S_△OAB=

1

2

CA•CB+

1

2

OA•OB=

1

2

10

×

10

+

1

2

×4×2=9，
∴CD=CE=3，
∴C點坐標為（-3，3），
把C（-3，3）代入y=

k

x

得k=-3×3=-9．
故答案為-9．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：運用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式；會確定直線與坐標軸的交點坐標；熟練掌握等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)以及勾股定理．