Question

14．已知：如圖，在△ABC中，點D．E分別在AB，AC上，DE∥BC，點F在邊AB上，BC²=BF•BA，CF與DE相交于點G．
（1）求證：DF•AB=BC•DG；
（2）當點E為AC的中點時，求證：$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$．

Answer 1

分析 （1）由BC²=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判斷△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判斷△BCF∽△DGF，所以△DGF∽△BAC，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）作AH∥BC交CF的延長線于H，如圖，易得AH∥DE，由點E為AC的中點得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定△AHF∽△DGF，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{AH}{DG}$=$\frac{AF}{DF}$，然后利用等線段代換即可得到$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$．

解答 證明：（1）∵BC²=BF•BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC，
∴DF：BC=DG：BA，
∴DF•AB=BC•DG；
（2）作AH∥BC交CF的延長線于H，如圖，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵點E為AC的中點，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴$\frac{AH}{DG}$=$\frac{AF}{DF}$，
∴$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在運用相似三角形的性質(zhì)時，主要通過相似比得到線段之間的關(guān)系．