Question

平面直角坐標系中，⊙O的半徑等于5，弦DH⊥x軸于K點，DH=8．
（1）如圖1，求點H的坐標；
（2）如圖2，點A為⊙O和x軸負半軸的交點，P為弧AH上任意一點，連接PK，PH，AM⊥PH交HP的延長線于點M，求

PD-PH

PM

的值；
（3）如圖3，高

PD-PH

PM

與x軸正半軸交點為S，點E、F是線段OS上的動點（不與點S重合），連接并延長DE，DF交⊙O于點B、C，直線BC交x軸于點G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，當E、F兩點在OS上運動時（不與點S重合），∠OGC+∠DOG的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若變化，請求出其變化范圍．

Answer 1

分析：（1）連接OH，根據(jù)勾股定理求得OC=3，從而得出點H的坐標；
（2）連接AD、AH，作AN⊥PD于N，由鄰補角的定義，得∠APM=∠ADH=∠AHD=∠APN，可以證明△ADN≌△AHM，由垂徑定理可得AD=AE，則△ADN≌△AHM，從而得出求

PD-PH

PM

的值；
（3）當E、F兩點在OS上運動時（不與點S重合），∠OGC+∠DOG的值不發(fā)生變化，由題意可得，弧DS=弧SH，
則∠DOG=∠HOG，進而得出弧BH=弧CH，故OH⊥BC，由∠OGC+∠HOG=90°，故∠OGC+∠DOG=90°．

解答：解：（1）連接OH（如圖1），
∵DH⊥x軸，
∴DC=DH=

1

2

DH=4，
根據(jù)勾股定理OC²+HC²=OH²，
∴OC=3，
∴H（3，-4）；

（2）連接AD、AH，作AN⊥PD于N，（如圖2）
∵∠APM+∠APH，
=∠ADH+∠APH=180°，
∴∠APM=∠ADH=∠AHD=∠APN，
而AN⊥PD，AM⊥PH，
∴AM=AN，
又∵AP=AP，
∵在Rt△APM和Rt△APN中，

AM=AN AP=AP

，
∴△APM≌△APN（HL），
由垂徑定理可得：

AD

=

AH

，
∴AD=AH，
∵在Rt△ADN和Rt△AHM中，

AD=AH AM=AN

，
∴△ADN≌△AHM（HL），
∴PM=PN，DN=HM，
∴PD-PH=2PM，
∴

PD-PH

PM

=2；

（3）當E、F兩點在OP上運動時（與點P不重合），∠OGC+∠DOG是定值．理由如下：
過點D作DK⊥EF于K，并延長DK交⊙O于H，連接OH，交BC于T，（如圖3）
則弧DS=弧SH，
∴∠DOG=∠HOG，
∵△DEF為等腰三角形，DK⊥EF，
∴DH平分∠BDC，
∴弧BH=弧CH，
∴OH⊥BC，
∴∠OGC+∠HOG=90°，
∴∠OGC+∠DOG=90°．

點評：本題綜合考查了勾股定理、全等三角形的判定、垂徑定理和圓周角定理．解答這類題一些學生不會綜合運用所學知識解答問題，不知從何處入手造成錯解．