Question

【題目】是等邊三角形，點(diǎn)在射線上，延長至，使.

（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，求證：.

（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠CBD=30°，由CD=AD，CD=CE可得CD=CE，即可得∠CDE=∠CED，利用三角形外角性質(zhì)可得∠CED=30°，可得∠CBD=∠CED，即可證明DB=DE；

（2）如圖，過點(diǎn)作的平行線交于，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可證明△CDF是等邊三角形，可得CD=DF=CF，利用線段的和差關(guān)系可得BC=AC=EF，利用平角的定義可得=120°，利用SAS可證明，即可得DB=DE.

（1）∵是等邊三角形

∴

∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，

∴平分，

∴

∵

∴

∴

∵，

∴，，

∴∠CBD=∠CED，

∴；

（2）成立，理由如下：

如圖，過點(diǎn)作的平行線交于，

∴，，

∵是等邊三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴為等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

，

∴，

在和中，，

∴，

∴.