Question

如圖，某商標(biāo)是由邊長(zhǎng)均為2的正三角形、正方形、正六邊形的金屬薄片鑲嵌而成的鑲嵌圖案．
（1）求這個(gè)鑲嵌圖案中一個(gè)正三角形的面積；
（2）如果在這個(gè)鑲嵌圖案中隨機(jī)確定一個(gè)點(diǎn)O，那么點(diǎn)O落在鑲嵌圖案中的正方形區(qū)域的概率為多少？（結(jié)果保留二位小數(shù)）

Answer 1

分析：（1）過(guò)A作AD⊥BC于D，根據(jù)等邊△ABC，得到BD=

1

2

BC，由勾股定理求出AD=

3

2

，根據(jù)△ABC的面積是

1

2

BC•AD代入即可求出答案；
（2）由圖形得到由10個(gè)正三角形，11個(gè)正方形，2個(gè)正六邊形，分別求出三個(gè)圖形的面積，即可求出點(diǎn)O落在鑲嵌圖案中的正方形區(qū)域的概率．

解答：解：（1）過(guò)A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等邊三角形，BC=2，
∴BD=CD=

1

2

BC=1，
在△BDA中由勾股定理得：AD=

AB2-BD2

=

22-12

=

3

，
∴△ABC的面積是

1

2

BC•AD=

1

2

×2×

3

=

3

，
答：這個(gè)鑲嵌圖案中一個(gè)正三角形的面積是

3

．

（2）由圖形可知：由10個(gè)正三角形，11個(gè)正方形，2個(gè)正六邊形，正方形的面積是2×2=4，
連接OA、OB，
∵圖形是正六邊形，
∴△OAB是等邊三角形，且邊長(zhǎng)是2，
即等邊三角形的面積是

3

，
∴正六邊形的面積是6×

3

=6

3

，
∴點(diǎn)O落在鑲嵌圖案中的正方形區(qū)域的概率是

11×4

10× 3 +2× 6 3 +11×4

≈0.54，
答：點(diǎn)O落在鑲嵌圖案中的正方形區(qū)域的概率約為0.54．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)和判定，幾何概率，勾股定理，平面鑲嵌等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．