Question

（2011•利川市一模）如圖，已知：拋物線y=ax²+bx-4（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-6，0）、B（2，0）．
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PB+PC的值最小，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）．過(guò)點(diǎn)D作DE∥PC交x軸于點(diǎn)E．連接PD、PE．設(shè)CD的長(zhǎng)為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．試說(shuō)明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，即可得到方程組求得a，b的值，從而得到函數(shù)的解析式；
（2）求出C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線BC′的解析式，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是P；
（3）求得DE的解析式，進(jìn)而得到PF、OE的長(zhǎng)度，根據(jù)S=

1

2

PF•OE即可求得函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：

36a-6b-4=0 4a+2b-4=0

，
解得：

a= 1 3 b= 4 3

，
則拋物線的函數(shù)表達(dá)式是：y=

1

3

x²+

4

3

x-4；

（2）在：y=

1

3

x²+

4

3

x-4，中令x=0，解得y=-4，則C的坐標(biāo)是（0，-4）．
二次函數(shù)的解析式是：x=-

4 3

2 3

=-2，
C關(guān)于x=-2的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（-4，-4）．
設(shè)直線BC′的解析式是y=kx+b，
則

-4k+b=-4 2k+b=0

，
解得：

k= 2 3 b=- 4 3

，
在直線的解析式是：y=

2

3

x-

4

3

，令x=-2，解得y=-

8

3

，
則P的坐標(biāo)是：（-2，-

8

3

）；

（3）設(shè)D的坐標(biāo)是（0，c），
設(shè)直線PC的解析式是y=ex+f，則

f=-4 -2e+f=- 8 3

，
解得：

f=-4 e=- 2 3

，
則直線的解析式是：y=-

2

3

x-4，
因?yàn)镃D=m，則D的坐標(biāo)是（m-4，0），則直線DE的解析式是：y=-

2

3

x+（m-4）．
令x=-2，解得：y=m-

8

3

，故F的坐標(biāo)是（-2，m-

8

3

），則PF=m，
令y=0，解得：x=

3

2

m-6．即OE=6-

3

2

m．
E的面積為S=

1

2

PF•OE=

1

2

m（6-

3

2

m），
即S=-

3

4

m²+3m（0＜m＜4）．
當(dāng)x=

3

3 2

=2時(shí)，有最大值是：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，直線平行的條件的綜合應(yīng)用，求得DE的解析式是關(guān)鍵．