Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，tan∠ACB=，∠CDE=∠CAO，點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的長和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）證明：△AEF∽△DCE；

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【考點(diǎn)】相似形綜合題．

【專題】綜合題；圖形的相似．

【分析】（1）由tan∠ACB的值，求出cos∠ACB的值，再由矩形ABCO，以及AB的長，求出BC與AC的長，利用對稱性確定出D坐標(biāo)即可；

（2）由對稱性得到∠CDE=∠CAO，利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：當(dāng)CE=EF；當(dāng)EF=FC；當(dāng)CE=CF時，利用相似三角形的判定與性質(zhì)分別求出E坐標(biāo)即可．

【解答】解：（1）由題意tan∠ACB=，

∴cos∠ACB=，

∵四邊形ABCO為矩形，AB=16，

∴BC==12，AC==20，

∴A（﹣12，0），

∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，

∴D（12，0）；

（2）∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，

∴∠CDE=∠CAO，

∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，

∴∠CDE=∠CEF，

又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE，

∴∠AEF=∠DCE，

∴△AEF∽△DCE；

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：

①當(dāng)CE=EF時，

∵△AEF∽△DCE，

∴△AEF≌△DCE，

∴AE=CD=20，

∴OE=AE﹣OA=20﹣12=8，

∴E（8，0）；

②當(dāng)EF=FC時，過點(diǎn)F作FM⊥CE于M，則點(diǎn)M為CE中點(diǎn)，

∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=EF，

∵△AEF∽△DCE，

∴=，即=，

∴AE=，

∴DE=AE﹣OA=﹣12=，

∴E（，0）；

③當(dāng)CE=CF時，則有∠CFE=∠CEF，

∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，

∴∠CFE=CAO，即此時點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，這與已知條件矛盾，

綜上所述，E（8，0）或（，0）．

【點(diǎn)評】此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．