Question

某公園有一個(gè)拋物線(xiàn)形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖所示，量得該拱橋占地面最寬處AB=20米，最高處點(diǎn)C距地面5米（即OC=5米）
（1）分別以AB、OC所在直線(xiàn)為x軸、y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）橋洞兩側(cè)壁上各有一盞景觀燈E、F，兩燈直射地面分別形成反光點(diǎn)H、G（E、F分別在拋物線(xiàn)上且關(guān)于OC對(duì)稱(chēng)，H、G在線(xiàn)段AB上），量得矩形EFGH的周長(zhǎng)為27.5米，現(xiàn)公園管理人員對(duì)拱橋加固維修，在點(diǎn)H、G處搭建一個(gè)高3.5米的矩形“腳手架”GHMN，已知“腳手架”最高處距景觀燈至少為0.35米可保證安全，請(qǐng)問(wèn)該“腳手架”的安裝是否符合要求？如果符合，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不符合，求出腳手架至少應(yīng)調(diào)低多少米？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)特點(diǎn)可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=ax²+5，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得拋物線(xiàn)解析式；
（2）假設(shè)出E點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，進(jìn)而得出E點(diǎn)縱坐標(biāo)，再利用矩形EFGH的周長(zhǎng)為27.5米，即可得出EH的長(zhǎng)，進(jìn)而得出EM的長(zhǎng)．

解答：解：（1）因?yàn)镺C=5米，所以頂點(diǎn)C（0，5），c=5，
此函數(shù)解析式為：y=ax²+5，由AB=20米，得出B點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0）代入解析式得：
0=100a+5，
解得：a=-

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，
該拋物線(xiàn)的解析式為：y=-

1

20

x²+5，


（2）設(shè)E的坐標(biāo)為(m，-

1

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m2+5)，其中m＞0，
則EF=2m，EH=-

1

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m²+5．
由已知得：2（EF+EH）=27.5，
即2(2m-

1

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m2+5)=27.5，
解得：m₁=5，m₂=35（不合題意，舍去），
把m₁=5代入EH=-

1

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m2+5=-

1

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×52+5=3.75．
∵在點(diǎn)H、G處搭建一個(gè)高3.5米的矩形“腳手架”GHMN，已知“腳手架”最高處距景觀燈至少為0.35米可保證安全，
∴MH=3.5m，EM=EH-MH=3.75-3.5=0.25m＜0.35m，
∴該“腳手架”的安裝不符合要求，
腳手架至少應(yīng)調(diào)低0.35-0.25=0.1米．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；根據(jù)拋物線(xiàn)特點(diǎn)得到二次函數(shù)解析式以及得出E點(diǎn)縱坐標(biāo)是解決本題的突破點(diǎn)．