Question

8．在△ABC中，∠CAB+2∠ABC=90°，點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，連接CD，若∠DCB=45°，AB=2$\sqrt{10}$，則CD=2．

Answer 1

分析 作∠CAB平分線根據(jù)∠CAB+2∠ABC=90°、∠DCB=45°可得AE⊥CD；由點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)知AC=AD；過點(diǎn)D作DF∥AE交BC于點(diǎn)F結(jié)合D為AB中點(diǎn)、M是CD中點(diǎn)可得CE=EF=BF，設(shè)CM=x分別表示出DE、EN、DN的長(zhǎng)，根據(jù)DC=DF、CE=EF知∠DEN=90°，在RT△DEN中，根據(jù)勾股定理求得x的值即可．

解答 解：作∠CAB平分線AE交CD于M，交BC于E，

∵∠CAB+2∠ABC=90°，
∴$\frac{1}{2}$∠CAB+∠ABC=∠CEA=45°，
∵∠DCB=45°，
∴AE⊥CD，
∵點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，AB=2$\sqrt{10}$
∴AC=AD=$\sqrt{10}$，
過點(diǎn)D作DF∥AE交BC于點(diǎn)F，
∵AD=BD，CM=DM，
∴EF=BF，CE=EF，
∴CE=EF=BF，
設(shè)CM=x，則CE=$\sqrt{2}$x，CD=DF=2x，
取BC中點(diǎn)N，連接DE、DN，
則DN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，DE=$\sqrt{2}$x，EN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵DC=DF，CE=EF，
∴∠DEN=90°，
故DE²+EN²=DN²，即（$\sqrt{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²=（$\frac{\sqrt{10}}{2}$）²，
解得：x=1，
則CD=2x=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)、中位線定理及勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形是解題的出發(fā)點(diǎn)，表示出所需線段的長(zhǎng)度并運(yùn)用到直角三角形中是關(guān)鍵．