Question

【題目】（1）操作發(fā)現(xiàn)

如圖1，在五邊形中，，，，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān).小明地過(guò)仔細(xì)思考，得到如下解題思路：

將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至.由，得，即點(diǎn),，三點(diǎn)共線，易證_____，被，，之間的數(shù)量關(guān)系是_______；

（2）類比探究

如圖2，在四邊形中，，，點(diǎn)，分別在邊，的延長(zhǎng)線上，，連接，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

（3）拓展延伸

如圖3，在中，，，點(diǎn)，均在邊上，且，若，，則的長(zhǎng)為_____.

Answer 1

【答案】（1），；（2），，之間的數(shù)量關(guān)系是；證明見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△AEF，由∠B=∠AED=90°，得∠DEF=180°，即點(diǎn)D，E，F三點(diǎn)共線，易證△ACD≌△AFD，可得結(jié)論；
（2）如圖2，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADE'，證明△AFE≌△AFE'，據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；
（3）將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算．

（1）BC，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系為：DF=DE+BC，理由是：
如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△AEF，由∠B=∠AED=∠AEF=90°，得∠DEF=180°，即點(diǎn)D，E，F三點(diǎn)共線，
∵∠BAE=90°，∠CAD=45°，
∴∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠EAF=45°，
∴∠CAD=∠FAD，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AFD（SAS），
∴CD=DF=DE+EF=DE+BC，
故答案為：△AFD，CD=DE+BC；
（2）如圖2，EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系是EF=DF-BE．

證明：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADE'，
則△ABE≌△ADE'，
∴∠DAE'=∠BAE，AE'=AE，DE'=BE，∠ADE'=∠ABE，
∴∠EAE'=∠BAD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∠ADE'=∠ADC，即E'，D，F三點(diǎn)共線，
又∠EAF=∠BAD=∠EAE'
∴∠EAF=∠E'AF，
在△AEF和△AE'F中，
，
∴△AFE≌△AFE'（SAS），
∴FE=FE'，
又∵FE'=DF-DE'，
∴EF=DF-BE；
（3）如圖3，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，則CD'=BD=2，

由（1）同理得，△AED≌AED'，．
∴DE=D'E．
∵∠ACB=∠B=∠ACD'=45°，
∴∠ECD'=90°，
在Rt△ECD'中，ED'===，即DE=，
故答案為：.