Question

已知，拋物線y=-

1

2

x²+

3

2

x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．D為第四象限的拋物線上一點(diǎn)，CD交x軸于E點(diǎn)，若S_△ACE=S_△DBE，求直線CD的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：先利用二次函數(shù)解析式確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），由于CD經(jīng)過點(diǎn)C，則直線CD的解析式為y=kx+2（k＜0），則E點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

k

，0）
通過解方程組

y=kx+2 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2

可得D點(diǎn)坐標(biāo)為（3-2k，-2k²+3k+2），然后利用S_△ACE=S_△DBE得到

1

2

（-

2

k

+1）•2=

1

2

（4+

2

k

）•（2k²-3k-2），整理為（2k+1）²（k-2）-（k-2）=0，然后利用因式分解法解得k=2或k=-1或k=0，則可確定滿足條件的k的值為-1，從而得到直線CD的解析式．

解答：解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=2，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；當(dāng)y=0時(shí)，-

1

2

x²+

3

2

x+2=0，解得x₁=-1，x2=4，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+2（k＜0），
把y=0代入y=kx+2得kx+2=0，解得x=-

2

k

，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

k

，0）
方程組

y=kx+2 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2

得

x=0 y=2

或

x=3-2k y=-2k2+3k+2

，
所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（3-2k，-2k²+3k+2），
因?yàn)镾_△ACE=S_△DBE，
所以

1

2

（-

2

k

+1）•2=

1

2

（4+

2

k

）•（2k²-3k-2），
（2k+1）²（k-2）-（k-2）=0，解得k=2或k=-1或k=0，
所以k=-1，
所以CD的解析式為y=-x+2．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減��；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減�。粁=-

b

2a

時(shí)，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．