Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過A、E兩點(diǎn)，交AD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）若AB=5，BC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OE，有：∠OAE=∠AEO，
∵AE平分∠BAD，
∴∠OAE=∠DAE，
∴∠AEO=∠DAE，
∴OE∥AD，
又∵D為BC中點(diǎn)，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴OE⊥BC，
∴BC與⊙O相切；

（2）由已知：在Rt△ADB中，∵AB=5，BD==4，
∴AD===3，
設(shè)圓的半徑為r，則OB=5-r
∵OE∥AD，
∴△BOE∽△BAD，
∴，
即，
解得．
分析：（1）連接OE則有∠OAE=∠AEO，由已知得到OE∥AD，D為BC中點(diǎn)而OE⊥BC，而得到結(jié)論．
（2）由已知在Rt△ADB中，AB=5，BD=4，可得AD=3，得到△BOE∽△BAD，對應(yīng)邊成比例列式進(jìn)行計算即可求解．
點(diǎn)評：本題考查切線的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用．以及考查了由三角形的相似得到對應(yīng)邊比相等，題目為結(jié)合題目，難度適宜．