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如圖,已知:PA切⊙O于A,割線PBC交⊙O于B,C,PD⊥AB于D,延長PD交AO的延長線于E,連接CE并延長,交⊙O于F,連接AF.
(1)求證:PD•PE=PB•PC;
(2)求證:PE∥AF;
(3)連接AC,若AE:AC=1:,AB=2,求EF的長.

【答案】分析:(1)欲證PD•PE=PB•PC,在此題所給的已知條件中,∠APE的余弦值在△APD和△APE中,有兩種表示方法,從而得出一個等積式,根據切割線定理,再得到一個等積式,從而借助于PA2得到PD•PE=PB•PC;
(2)可證△PBD∽△PEC,再根據相似三角形的性質和圓內接四邊形的性質得到∠PEC=∠AFC,根據平行線的判定即可得出結論;
(3)分別證明△PAB∽△PCA,△AEF∽△APB,得出兩個比例式,聯(lián)立有=,再代值即可求出EF的長.
解答:(1)證明:∵PA切⊙O于點A,
∴AO⊥PA.
∵PD⊥AB,
=cos∠APE=
∴PA2=PD×PE…①
∵PBC是⊙O的割線,PA為⊙O切線,
∴PA2=PB×PC…②
聯(lián)立①②,得PD•PE=PB•PC;

(2)證明:∵PD•PE=PB•PC(已證),
,
∵∠BPD為公共角,
∴△BDP∽△EPC,
∴∠PBD=∠PEC,
∵四邊形ABCF內接圓,
∴∠ABP=∠AFC,
∴∠AFC=∠PEC,
∴PE∥AP;

(3)解:∵AP是⊙O的切線,
∴∠PAB=∠PCA,
∵∠APB=∠CPA,
∴△PAB∽△PCA,
=…①,
∵∠PAE=∠ADP=90°,
∴∠APD+∠PAD=90°,
∠APD+∠AEP=90°,
∴∠PAB=∠AEP=∠FAE,
∵∠ABP=∠F,
∴△AEF∽△APB,
=,即=…②
聯(lián)立①②,有=,
∴EF=AE×=×2=
點評:此題考查了三角函數、切割線定理,以及相似的判定和性質,比較全面,有一定的難度.
練習冊系列答案
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 cm.若∠P=35°,那么∠AOB=
 
,∠EOF=
 

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(1)求證:PD•PE=PB•PC;
(2)求證:PE∥AF;
(3)連接AC,若AE:AC=1:
2
,AB=2,求EF的長.

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(1)求證:PD•PE=PB•PC;
(2)求證:PE∥AF;
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