Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)，點(diǎn)，軸，點(diǎn)是直線(xiàn)下方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)且與軸平行的直線(xiàn)與直線(xiàn)，分別交于點(diǎn)，，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)是；（3）滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，坐標(biāo)分別是或.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)平行于x軸的直線(xiàn)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，可得C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AB的解析式，根據(jù)直線(xiàn)上的點(diǎn)滿(mǎn)足函數(shù)解析式，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于y軸的直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PE的長(zhǎng)，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠PCF=∠EAF，根據(jù)相似三角形的判定，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解：（1）把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入，

得，解得.

∴拋物線(xiàn)的解析式是.

（2）∵軸，，

由，解得，（舍），

∴.

設(shè)直線(xiàn)的解析式是，

由，解得.

則直線(xiàn)的解析式是.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，.

∵，，

∴

.

又∵，

則當(dāng)時(shí)，四邊形的面積的最大值是，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是.

（3）由，得頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，此時(shí)，，

則在中，，∴.

同理可求，∴，

∴在直線(xiàn)上存在滿(mǎn)足條件的，如圖或.

可求，，，

①當(dāng)時(shí)，設(shè)，

由，得，解得.

②當(dāng)，設(shè)，

由，得，解得.

綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，坐標(biāo)分別是或.