Question

若函數(shù)f(x)=-

1

2

x2+

13

3

當(dāng)a≤x≤b時(shí)的最小值為2a，最大值為2b，求a、b的值．

Answer 1

分析：根據(jù)二次函數(shù)的增減性以及當(dāng)a＜b≤0時(shí)，當(dāng)a≤0＜b時(shí)，若0＜a＜b時(shí)分別得出a，b的值即可．

解答：解：函數(shù)f(x)=-

1

2

x2+

13

3

的頂點(diǎn)是（0，

13

3

），對(duì)稱軸是y軸，最大值為

13

3

，如右圖，
（1）當(dāng)a＜b≤0時(shí)，x=a時(shí)有最小值2a，x=b時(shí)有最大值2b，于是
-

1

2

a²+

13

3

=2a，
-

1

2

b²+

13

3

=2b，
可知a、b是方程-

1

2

x²+

13

3

=2x的兩個(gè)根，
即3x²+12x-26=0，由于△＞0，x₁x₂=-

26

3

，
此方程有一正一負(fù)兩個(gè)根，這與a＜b≤0矛盾，故此情況舍去；

（2）當(dāng)a≤0＜b時(shí)，x=0時(shí)有最大值

13

3

=2b，
解得b=

13

6

，
x=b時(shí)有最小值2a，
即-

1

2

×（

13

6

）²+

13

3

=

143

72

＞0，而2a≤0，矛盾，
所以只能是x=a時(shí)取最小值，
（-

1

2

）a²+

13

3

=2a，
3a²+12a-26=0 a=

-6- 114

3

＜0，符合條件，

（3）若0＜a＜b，顯然有 （-

1

2

）a²+

13

3

=2b①，
-

1

2

b²+

13

3

=2a②，
①-②得：（-

1

2

）（a-b）（a+b）=2（b-a），
則 a+b=4，
b=4-a，代入①得：（-

1

2

）a²+

13

3

=2（4-a），
3a²-12a+22=0，
∵△＜0，
∴此方程無實(shí)數(shù)根，故此情況舍去．
故有一組解符合要求：a=

-6- 114

3

，b=

13

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的最值求法，根據(jù)自變量的取值范圍分別將a，b代入求出是解題關(guān)鍵．